Problem
G是一個n個頂點和e條邊的帶權有向圖，各邊的權值為0到N-1之間的整數，N為一非負整數。修改Dijkstra算法使其能在O(Nn+e)時間內計算出從源到所有其他頂點之間的最短路徑長度。
Analysis
核心
Dijkstra算法, 最重要的是環節是查找下一個最短路徑.
常用的算法有
- 暴力檢索 $ O(n^2 )$
- 堆排序, 算法復雜度是 $ O(n*log(n ))$
- 優先隊列算法
這里我們給出的算法時間復雜度的要求是$ O(N*n + e )$
問題前提條件設定了一個限制, 就是各邊權值最大限定了 $ N $ , 那么也就是說起點到其他所有點的最長長度為 $ N * (n-1) $
其實到不到的(因為題目里權值的取值為 0->N-1).
借用桶排序的思想,定義一個List dis_bucket_list
數據結構就是二維List(在Python里面的使用比較方便) !
IMG_20170105_163720.jpg
dis_bucket_ptr 是指向當前dis_bucket_list 的下標
檢索下一個最小的頂點的時候, 如果元素為空, 則右移. 不為空則pop第一個元素
獲取最小的節點的時候, 獲取所有與該節點直接相連的元素集合, 即next_node_list[i] 里面的元素
然后遍歷其中的所有元素, 更新最小距離, 同步bucket
然后dis_bucket_ptr繼續查找下一個元素
核心代碼
# 只需要遍歷 node_num -1 次
for i in range(node_num-1):
# 獲取桶中下一個距離最小的節點
node_cur = find_next_minimum_dis()
# 獲取該節點直接相連的所有節點集合
node_list = next_node_list[node_cur]
# 遍歷node_list,更新最小值,同步
for node_next in node_list:
dis_temp = min_distance_list[node_cur] + graph_matrix[node_cur][node_next]
if(min_distance_list[node_next] > dis_temp):
# 父節點更新為node_next
parent_node_list[node_next] = node_cur
# 更新節點在桶中的位置
update_distance(node_next, dis_temp)
數據結構
graph_matrix
二維數組, row代表其實節點(v), col代表終點(u), 值代表權重(w)
----Graph Matrix----
0 10 5 INF INF
INF 0 2 1 INF
INF 3 0 9 2
INF INF INF 0 4
7 INF INF 6 0
next_node_list
二維list, 相當于graph_matrix的壓縮版, 用于表示從該節點能直接到達的節點的集合, 減少遍歷次數
----Next Node List----
0 : [1, 2]
1 : [2, 3]
2 : [1, 3, 4]
3 : [4]
4 : [0, 3]
dis_bucket_list
做如下初始化操作
- 將第一個元素置為起點
- INF位置上放置其他所有節點
- 其他桶中置為空
利用給出的最大權重 W的限制條件, 得出最大
利用給出的最大權重 W的限制條件, 得出最大
Code
'''
初始化圖
'''
def init_graph(edge_list):
# 二維矩陣用于記錄 每條邊 v->u, weight
graph_matrix = [[ infinity for col in range(node_num)] for row in range(node_num)]
# 記錄該節直接到達的下一個節點的所有node集合
next_node_list = [[] for row in range(node_num)]
# 對角的距離設為 0
for node_i in range(node_num):
graph_matrix[node_i][node_i] = 0
# 遍歷所有的邊
for [e_origin, e_terminal, e_weight] in edge_list:
graph_matrix[e_origin][e_terminal] = e_weight # 將邊的信息記錄到 graph_matrix 中
next_node_list[e_origin].append(e_terminal) # 添加e_terminal至e_origin 對應的end_point中
return graph_matrix, next_node_list
'''
更新node_id與起始節點的最小距離
'''
def update_distance(node,distance):
old_dis = min_distance_list[node]
min_distance_list[node] = distance # 更新最小距離
# 更新dis_bucket_list
dis_bucket_list[old_dis].remove(node)
dis_bucket_list[distance].append(node)
'''
找出dis_bucket_list中的下一個最小元素
'''
def find_next_minimum_dis():
global dis_bucket_ptr
# 尋找下一個元素不為空的桶
while(dis_bucket_list[dis_bucket_ptr] == [] and dis_bucket_ptr <= max_distance):
dis_bucket_ptr = dis_bucket_ptr + 1
if (dis_bucket_ptr == infinity):
return -1
return dis_bucket_list[dis_bucket_ptr].pop()
node_num = 5 # 定點數 - (N)
max_weight = 10 # 最大邊權重 (W)
max_distance = (node_num - 1)*max_weight # 兩個節點的最長距離
infinity = max_distance + 1 # 無限大定義為 max_distance+1
'''
edge_list 結構說明
[v, u, w]
v: 邊的起始點
u: 邊的終點
w: 權重
'''
edge_list = [
[0, 1, 10],
[0, 2, 5],
[1, 2, 2],
[1, 3, 1],
[2, 1, 3],
[2, 3, 9],
[2, 4, 2],
[3, 4, 4],
[4, 0, 7],
[4, 3, 6]
]
# 起點
node_start = 0
graph_matrix, next_node_list = init_graph(edge_list) # 初始化graph_matrix 和 next_node_list
dis_bucket_list = [[] for i in range(infinity+1)] # 距離桶列表的初始化
dis_bucket_list[infinity] = [i for i in range(0,node_num)] # 將所有的節點掛載到infinity的位置上
dis_bucket_list[infinity].remove(node_start)
dis_bucket_list[0].append(node_start)
dis_bucket_ptr = 0 # 距離桶的指針, 指向dis_bucket_list的坐標
min_distance_list = [infinity]*node_num # 記錄當前的最小距離
parent_node_list = [-1] * node_num # 頂點的前驅節點
min_distance_list[node_start] = 0
for i in range(node_num):
node_cur = find_next_minimum_dis()
node_list = next_node_list[node_cur]
for node_next in node_list:
dis_temp = min_distance_list[node_cur] + graph_matrix[node_cur][node_next]
if(min_distance_list[node_next] > dis_temp):
parent_node_list[node_next] = node_cur
update_distance(node_next, dis_temp)
print('\n----Graph Matrix----\n')
for row in range(node_num):
temp_str = ""
for col in range(node_num):
if(graph_matrix[row][col] == infinity):
temp_str += " INF "
else:
temp_str += ' %3d '%graph_matrix[row][col]
print(temp_str)
print('\n----Next Node List----\n')
for i in range(len(next_node_list)):
print("%d : %s"%(i, next_node_list[i]))
print("\n----Result----\n")
for i in range(node_num):
if i == node_start:
continue
print("%d -> %d min_dis: %3d; parent: %d;"%(node_start,i, min_distance_list[i], parent_node_list[i]))
Result
測試數據
'''
edge_list 結構說明
[v, u, w]
v: 邊的起始點
u: 邊的終點
w: 權重
'''
edge_list = [
[0, 1, 10],
[0, 2, 5],
[1, 2, 2],
[1, 3, 1],
[2, 1, 3],
[2, 3, 9],
[2, 4, 2],
[3, 4, 4],
[4, 0, 7],
[4, 3, 6]
]
運行結果
----Graph Matrix----
0 10 5 INF INF
INF 0 2 1 INF
INF 3 0 9 2
INF INF INF 0 4
7 INF INF 6 0
----Next Node List----
0 : [1, 2]
1 : [2, 3]
2 : [1, 3, 4]
3 : [4]
4 : [0, 3]
----Result----
0 -> 1 min_dis: 8; parent: 2;
0 -> 2 min_dis: 5; parent: 0;
0 -> 3 min_dis: 9; parent: 1;
0 -> 4 min_dis: 7; parent: 2;
