最近不是感冒發燒就是熬夜加班，所以打算利用編譯和調試的空隙寫點東西，算是拔草了。
這次拔草的系列，是關于數學上的無窮的。
老軌跡，除了梳理知識點，還要來點好玩的東西才行。
問題起源于這么一個問題：
我們都知道，這個問題的答案是無窮，但為什么是無窮呢？我們不可能真的去把上面的式子累加到無窮嘛。
好了，開始解決問題。
我們先看這么一個改造后的問題：
然后，我們取其中的第2、4、6...項出來，有：
也就是說，剩下的項和原始項之間就可以有如下關系：
或者，我們可以換一個方法來記：
這里gcd就是求兩個數的最大公約數的數論函數，如果兩個數互素，那么它返回的就是1。
因此，從$N_{0,k}$中分離出來的$N_{1,k}$，就是所有與2互素的自然數的-k次冪的和。
現在，我們有：
進一步，從$N_{1,k}$中我們可以做進一步分離：
事實上，我們令$N_{l,k}$表示上述求和序列中項數i（從1開始的自然數）不能被前l個素數$p_l$（2為第一個素數）整除的數，即$ngcd(i,p_l)=1$，那么這個求和序列就給出下面的關系：
從而我們有：
很顯然，從l到l+1的過程，就是把自然數中前l個素數都篩掉的過程，因此這個過程的終結只能是終結于數列中只剩下最后一個數：自然數1。1不可能被任何素數整除，所以可以想見在把“所有”的素數都去掉后，能剩下的只可能是1。
因此，我們現在可以先暫且寫下這么一條：
我們發現，很神奇的，自然數-k次冪的求和，居然和素數的特定形式的函數的求積關聯到了一起。
上面的分析中，自然是有很多不恰當的地方的。
比如說，最后$N_{\infty, k} = 1$的給出非常肆意，且不說按照潛無窮的觀點這一步在邏輯上就做不到，就算是能做，這一步到底能否給出這結論也有待證明。
假定素數是有限的，那么最終我們自然可以在某一項之后發現整個自然數列被篩得只剩下一個一，但假如素數是無限的呢？
畢竟，對于任意有限的l，如果素數有無限多個，那么我們所面對的都是從第l+1個素數開始的無限項求和。
所以，下面我們先來看一下素數到底是否有限。
回到上面我們得到的結論，現在我們讓k=1，這樣就得到了文章最開始的那個問題了：
這里，我們發現，如果素數有限多，那么這個求和必然是有限的；而如果這個求和是無限的，那么就意味著素數必然有無限多個。
而，素數到底是否有限呢？
讓我們來關注$N_{0,1}$和$N_{1,1}$的關系：
展開寫，我們就有：
是不是覺得很不可思議？因為很顯然，左邊比右邊要小：左邊第i項永遠比右邊對應的第i項小，所以兩邊求和怎么都不可能得到一樣的答案。
但，這個關系的導出又看起來沒問題：原求和序列中的第1、3、5...項給出新等式右側的部分，而原求和序列中的第2、4、6...項則很顯然地就等于原求和序列第1、2、3...項的一半，所以進而給出新等式左側的部分。
這個分解與折半兩部看上去都沒問題，可結論卻顯然是錯的。
這就牽扯到關于無窮的各種奇妙悖論了——比如說，無限個1的累加等于多少？運用這里相同的方法，我們可以將奇數位的1和偶數位的1分開成兩個求和列，然后這兩個又和原來的求和列相同，于是$a = 2 a$，結果求和列的結果為0；但我們也可以將第一個的1從后面無窮個1中分離開來，而后面無窮個1和原本的求和列相同，于是出現了$a = 1 + a$，于是就不知道結果是啥了；再來我們可以在上面將第一個1和后面無窮個1分開的基礎上，對后面無窮個1的奇數位和偶數位再做分離，于是就得到了$a = 1 + 2 a$，于是結果是-1……哈哈，是不是感覺特別逗？我們可以通過這樣的方法構造出任何一個我們想構造的有理數。
在康托建立的集合論中，如果兩個集合之間可以建立一一映射關系將映射兩邊的元素一個不落一個不重復地映射到另一邊，那么我們就說著兩個集合是“等勢”的，從而可以簡單地說是“具有一樣多的元素”，或者更簡單地可以稱為“一樣多”或者“一樣大”。
比如，自然數集和整數集“一樣多”，而偶數集、奇數集和自然數集、整數集也都是一樣多的。偶數集和有理數集也是一樣多的，所有素數p的倍數構成的集合與所有有限D個整數構成的$Z^D$空間的點的數量也是一樣多的。
現在，假如集合A是一個自然數構成的集合，A上的映射f將每個A中的每個自然數i映射到數域F中的數x。而集合B與集合A一樣多，即B中元素j與A中元素i一一對應，B上有映射h，使得B中每個自然數j都被映射為數域F上的數y，且如果i與j對應，則$f(i)=c\ h(j)$，其中c是和i、j的選擇無關的F上的常數，那么我們自然會認為A中所有元素在f映射下的求和，與B中所有元素在h映射下的求和，應該就相差常系數c。
這個結論在有限集上顯然是成立的，而對于無限集，我們一般也認為是成立的，因為乍看起來實在沒有反對的理由。
因此，倘若結果真的是這樣，那么我們自然可以得到上面所提到的那個矛盾的等式。
所以，要么兩個無限數集的求和之間沒有這么顯然的關系，要么我們涉及到無窮時的加減乘除需要不一樣的代數。
前者涉及到集合論的基礎，而集合論是現代數學四大基礎之一（集合論、證明論、模型論、遞歸論（可計算性理論）），就這么發生變動的可能不大——要變也要以更加細致更加微妙的方式變。
所以，下面我們就來動一下關于無限的加減乘除法。
對于普通的有限的非零數來說，對它乘個2，結果當然會變成另一個數。
這個性質是這么理所當然，以至于我們都不曾懷疑它。
對于無限來說，無限乘以2和無限除以2的結果，到底是什么呢？
讓人很驚訝，這兩個運算的結果，都還是無限。
兩個無限之間可以比大小，這和勢相關，于是兩個同勢的無限當然可以被認為是相等的——這就是說，上面那個矛盾的式子，既可以解釋為兩個有限值相等，也可以被解釋為，等式兩邊都是無限。
可以說，無限加減乘除任何一個有限值，得到的結果都是無限，加或者乘一個無限，結果也還是無限，這已經是和傳統加法代數很不同的地方了。
而更不同的地方在于，無限減無限與無限除無限，這兩個運算，沒有定義。
也就是說，上面矛盾的式子我們可以理解為等式的左右出現了無限（事實上等于左邊是一個無限，而右邊是兩個無限的和，還是一個無限），但卻不能理解為兩邊相減后一側是0一側是有限或者無限值。
現在，我們沒法做減法了。
也就是說，如果這個計算中沒有出現無限，那么最后$N_{0,k}$就是$N_{1,k}$的兩倍，從而得到矛盾；因此，這個計算中必然出現了無限，那么一切減法與除法都不能操作了，因為無限了。
而，既然出現了無限，那么就是說：素數的個數必須是無窮多個。
在很多別的類似的問題，比如前面提到的無窮個1的求和，以及奇數位加1而偶數位減1的求和，或者所有自然數的求和中，就是因為出現了無窮，所以常規的做法就不再適合了，也因此如果在這個情況下繼續使用常規的加減乘除，我們就得到得到各種亂七八糟的結果，比如所有自然數的求和的結果是-1/12（當然，這個求和是利用了拉馬努金求和對特定函數做了解析延拓所得到的，并不是簡單的求和列重排游戲）。
或許，我們可以這么說：只有對收斂的求和列才能用常規的分拆手法，而一旦不收斂（比如到無窮），那么常規的分拆法是無效的。尤其對于出現無窮的求和列來說，無窮的運算法則不遵守常規有限數的運算法則，所以常規手段無效。
當然，我們還可以從另外一個角度來看這個問題，這個就是下一篇（如果寫的話）要談論的話題了。
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