Key Point1:
能夠使用貝葉斯做推薦排序的假設有兩個：
1.?用戶U對商品和
的偏好和其他用戶無關（即用戶間的獨立性）
2. 用戶U對商品和
的偏好和該用戶喜歡的其他商品無關（即商品間的獨立性）
這兩種關系滿足完全性、反對稱性和傳遞性：
完整性：
反對稱性：
傳遞性：
Key Point2:
類似LFM（隱語義模型），BPR將用戶U和物品I的排序矩陣X分解成用戶矩陣和物品矩陣
，滿足
，k為矩陣
的秩
BPR針對每個用戶感興趣的商品進行排序，因此對于任意一個用戶u和商品i，期望如下：
BPR最終目標：
找到最合適的W和H，使得最接近
，看似類似funkSVD，但推導過程不盡相同
求解過程
優化目標：，根據貝葉斯公式有：
；
根據用戶物品排序和其他用戶無關的假設，有：
很顯然問題轉化成了分別求解和數據集無關的以及 和數據集有關的
的求解過程：
根據用戶對i和j喜好的獨立性，將后者轉化成和樣本(u,i,j)有關的公式：
其中，根據完整性和反對稱性的性質，上式可以化簡成：
①，
其中，，
為sigmoid函數，一是為了方便計算，二是sigmoid函數完美的滿足了完整性、反對稱性和傳遞性
至此，我們還需要知道的是如何求得，這個式子需要滿足
時
；
時
，最直觀的方式就是表示成下式：
，
是
(u,i)和
(u,j)的值，將此式帶入①中，得到：
的求解過程：
也使用貝葉斯定理的假設：即服從正態分布：
還是根據①式，顯然需要取對數后再計算，而對于正態分布來說，其對數和成正比：
綜合的求解過程：
用梯度上升法求解，對上式求相對于的偏導：
，其中：
而轉化為具體的參數就是
（這里對理解很關鍵，也是不同于LFM的地方）!
總結：
????BPR是基于矩陣分解的一種排序算法，但是和funkSVD之類的算法比，它不是做全局的評分優化，而是針對每一個用戶自己的商品喜好分貝做排序優化。因此在迭代優化的思路上完全不同。同時對于訓練集的要求也是不一樣的，funkSVD只需要用戶物品對應評分數據二元組做訓練集，而BPR則需要用戶對商品的喜好排序三元組做訓練集。
