1. 簡(jiǎn)介
超幾何分布（hypergeometric）是統(tǒng)計(jì)學(xué)上一種離散概率分布。它描述了由有限個(gè)物件中抽出n個(gè)物件，成功抽出指定種類(lèi)的物件的個(gè)數(shù)（不歸還）。
超幾何分布和Fisher's Exact Test是完全一模一樣的原理，只是兩種不同的稱(chēng)謂。
例如在有N個(gè)樣本，其中m個(gè)是不及格的。超幾何分布描述了在該N個(gè)樣本中抽出n個(gè)，其中k個(gè)是不及格的機(jī)率：
上式可如此理解：n^N 表示所有在N個(gè)樣本中抽出n個(gè)，而抽出的結(jié)果不一樣的數(shù)目。
k^m 表示在m個(gè)樣本中，抽出k個(gè)的方法數(shù)目。剩下來(lái)的樣本都是及格的，而及格的樣本有N-m個(gè)，剩下的抽法便有(n-K^N-m)種。
若n=1，超幾何分布還原為伯努利分布。
若N接近∞，超幾何分布可視為二項(xiàng)分布。注意二項(xiàng)分布是有歸還 (with replacement) 的抽取。
然后計(jì)算得到的p-value通過(guò)Bonferroni校正之后，以0.05為閾值（小于0.05），滿(mǎn)足此條件的GO term定義為顯著富集。
（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣
（2）超幾何分布中的參數(shù)是M,N,n上述超幾何分布記作X~H(n，M，N）。
2. 例子
以文章Gene Expre ssion in Ovarian Cancer Reflects Both Morphology and Biological Behavior, Distinguishing Clear Cell from Other Poor-Prognosis Ovarian Carcinomas所鑒定的差異基因?yàn)槔?/p>
測(cè)試一下這些基因和化學(xué)刺激響應(yīng)的相關(guān)性。
樣本的大小是n，屬于“化學(xué)刺激響應(yīng)”這個(gè)分類(lèi)的基因有k個(gè)。
eg <- c("7980", "3081", "3162", "3059", "1545", "1917", "6696", "5797", "6648" , "10397" , "6781", "5817", "1282", "1284", "6948", "7077")
n <- length(eg)
k <- sum(eg %in% allgeneInCategory)
n
k
#16
#12
那么做為背景，總體基因?yàn)镹，屬于“化學(xué)刺激響應(yīng)”這個(gè)分類(lèi)的基因有M個(gè)。
library(org.Hs.eg.db)
goid <- "GO:0042221"
allgeneInCategory <- unique(get(goid, org.Hs.egGO2ALLEGS))
M <- length(allgeneInCategory)
N <- length(mappedkeys(org.Hs.egGO))
M
N
#4373
#19307
2.1 二項(xiàng)式分布
從總體上看，要拿到一個(gè)基因?qū)儆凇盎瘜W(xué)刺激響應(yīng)”這個(gè)分類(lèi)的概率是M/N。那么現(xiàn)在抽了n個(gè)基因，里面有k個(gè)基于這個(gè)分類(lèi)，p值為
1-sum(sapply(0:k-1, function(i) choose(n,i) * (M/N)^i * (1-M/N)^(n-i)))
#1.301651e-05
2.2 超幾何分布
二項(xiàng)式分布，是有放回的抽樣，你可以多次抽到同一基因，這是不符合的。所以這個(gè)計(jì)算只能說(shuō)是做為近似的估計(jì)值，無(wú)放回的抽樣，符合超幾何分布，通過(guò)超幾何分布的計(jì)算，p值為：
phyper(k-1,M, N-M, n, lower.tail=FALSE)
#1.289306e-05
用2x2表做獨(dú)立性分析
d <- data.frame(gene.not.interest=c(M-k, N-M-n+k), gene.in.interest=c(k, n-k))
row.names(d) <- c("In_category", "not_in_category")
d
2.3 卡方檢驗(yàn)
對(duì)于２x２表來(lái)說(shuō)，卡方檢驗(yàn)通常也只能做為近似估計(jì)值，特別是當(dāng)sample size或expected ell count比較小的時(shí)候，計(jì)算并不準(zhǔn)確。
chisq.test(d, )
#Chi-squared approximation may be incorrect
# Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
#data: d
#X-squared = 22.148, df = 1, p-value = 2.525e-06
2.4 Fisher精確檢驗(yàn)
名副其實(shí)，真的就比較exact，因?yàn)樗褂玫氖浅瑤缀畏植紒?lái)計(jì)算p值。Fisher精確檢驗(yàn)是基于超幾何分布計(jì)算的，它分為兩種，分別是單邊檢驗(yàn)（等同于超幾何檢驗(yàn)）和雙邊檢驗(yàn)。
fisher.test(d)
# Fisher's Exact Test for Count Data
#data: d
#p-value = 1.289e-05
#alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
#95 percent confidence interval:
# 0.02285468 0.32152483
#sample estimates:
#odds ratio
#0.09739934
3. 額外
1.n大于等于40.所有理論頻數(shù)大于等于5---用卡方檢驗(yàn)
2.n大于等于40，所有理論頻數(shù)大于1，小于5----用校正的卡方
3.n小于40，理論頻數(shù)小于1-----用fish精確概率法
