最近重新回顧了數據結構中的樹,樹是一種非線性數據結構，其概念也不少。大家在初次接觸樹的時候，可能覺得它很難；之所產生這種感覺主要是由于樹有一大堆陌生的概念、性質等內容。而當我真正的實現了二叉樹再回過頭來看它的相關概念和性質的時候，覺得原來它是如此的簡單！
因此，建議在學習二叉樹的時候：先對二叉樹基本的概念、性質有個基本了解，遇到難懂的知識點，可以畫圖來幫助理解；在有個基本的概念之后，再親自動手實現二叉查找樹(這一點至關重要!)；最后再回過頭來總結一下二叉樹的理論知識時，你會發現其實一點不難！
而這一篇文章主要講各種樹的性質和定義.
一:樹的介紹
1:樹的定義
樹是一種數據結構，它是由n（n>=0）個有限節點組成一個具有層次關系的集合，把它叫做“樹”是因為它看起來像一棵倒掛的樹，也就是說它是根朝上，而葉朝下的。它具有以下的特點：
1:每個節點有零個或者多個子節點
2:沒有父節點的節稱為根節點
3:每一個非根節點有且只有一個父節點
4:除了根節點之外,每一個子節點可以分為多個不相交的子樹
2:樹的基本術語
若一個結點有子樹，那么該結點稱為子樹根的"雙親"，子樹的根是該結點的"孩子"。有相同雙親的結點互為"兄弟"。一個結點的所有子樹上的任何結點都是該結點的后裔。從根結點到某個結點的路徑上的所有結點都是該結點的祖先，以下圖為例：
結點的度：結點擁有的子樹的數目，圖中結點c的度為2。 葉子：度為零的結點，圖中D、E、F都是葉子結點 樹的度：樹中結點的最大的度，圖中結點c的度最大為2，因此樹的度為2。
層次：根結點的層次為1，其余結點的層次等于該結點的雙親結點的層次加1。 樹的高度：樹中結點的最大層次，圖中樹的高度為3。 無序樹：如果樹中結點的各子樹之間的次序是不重要的，可以交換位置。 有序樹：如果樹中結點的各子樹之間的次序是重要的, 不可以交換位置。 森林：0個或多個不相交的樹組成。對森林加上一個根，森林即成為樹；刪去根，樹即成為森林。
二:二叉樹的介紹
1:二叉樹的定義
二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。它有五種基本形態：二叉樹可以是空集；根可以有空的左子樹或右子樹；或者左、右子樹皆為空。
2:二叉樹性質
①性質1：二叉樹第i層上的結點數目最多為2{i-1}(i≥1)。
證明：下面用"數學歸納法"進行證明。 (01) 當i=1時，第i層的節點數目為2{i-1}=2{0}=1，命題成立。
(02) 假設當i>1，第i層的節點數目為2{i-1}。這個是根據第一步推斷出來的！ 下面根據這個假設，推斷出"第(i+1)層的節點數目為2{i}"即可。由于二叉樹的每個結點至多有兩個孩子，故"第(i+1)層上的結點數目" 最多是 "第i層的結點數目的2倍"。即，第(i+1)層上的結點數目最大值=2×2{i-1}=2{i}。故假設成立，原命題得證！
性質2：深度為k的二叉樹至多有2{k}-1個結點(k≥1)。
證明：在具有相同深度的二叉樹中，當每一層都含有最大結點數時，結點數最多。利用"性質1"可知，深度為k的二叉樹的結點數至多為：20+21+…+2k-1=2k-1。故原命題得證！
性質3：包含n個結點的二叉樹的高度至少為log2(n+1)。
證明：根據"性質2"可知，高度為h的二叉樹最多有2{h}–1個結點。反之，對于包含n個節點的二叉樹的高度至少為log2(n+1)。
性質4：二叉樹中,設葉子結點數為n0，度為2的結點數為n2，則n0=n2+1。
證明：因為二叉樹中所有結點的度數均不大于2，所以有等式一。
n=n0+n1+n2(等式一)
另一方面，0度結點沒有孩子，1度結點有一個孩子，2度結點有兩個孩子，故二叉樹中孩子結點總數是：n1+2n2。此外，只有根不是任何結點的孩子。故二叉樹中的結點總數又可表示為等式二。
n=n1+2n2+1(等式二) 由(等式一)和(等式二)計算得到：n0=n2+1。原命題得證！
3:不同形態的二叉樹
1:滿二叉樹
定義：高度為h，并且由2{h} –1個結點的二叉樹，被稱為滿二叉樹，其實不難看出，滿二叉樹的結點的度要么為0（葉子結點），要么為2（非葉子結點）
2:完全二叉樹
定義：一棵二叉樹中，只有最下面兩層結點的度可以小于2，并且最下一層的葉結點集中在靠左的若干位置上。這樣的二叉樹稱為完全二叉樹。
特點：葉子結點只能出現在最下層和次下層，且最下層的葉子結點集中在樹的左部。顯然，一棵滿二叉樹必定是一棵完全二叉樹，而完全二叉樹未必是滿二叉樹。
3:二叉查找樹
定義：二叉查找樹，又被稱為二叉搜索樹。其特點如下：設x為二叉查找樹中的一個結點，x節點包含關鍵字key，一句話就是左孩子比父節點小，右孩子比父節點大，還有一個特性就是”中序遍歷“可以讓結點有序。
綜上所述,在二叉樹中:
1:若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小于它的根結點的值
2:任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大于它的根結點的值；
3:任意節點的左、右子樹也分別為二叉查找樹；
4:沒有鍵值相等的節點。
由于在實際應用中，二叉查找樹的使用比較多，后面會有文章講解二叉查找樹的一些關鍵操作的代碼實現。
文章轉載自公眾號:碼農有道
