一、定義
圖(Graph)是由頂點的有窮非空集合和頂點之間邊的集合組成，通常表示為:G(V,E)，其中，G表示一個圖，V是圖G中頂點的集合，E是圖G中邊的集合。
對于圖的定義，我們需要明確幾個注意的地方:
- 線性表中我們把數據元素叫元素，樹中叫結點，在圖中數據元素我們則稱之為頂點(Vertex)
- 線性表可以沒有數據元素，成為空表，樹中可以沒有結點，叫做空樹，而圖結構在國內大部分教材中強調頂點集合V要有窮非空
- 線性表中，相鄰的數據元素之間具有線性關系，樹結構中，相鄰兩層的結點具有層次關系，而圖結構中，任意兩個頂點之間都可能有關系，頂點之間的邏輯關系用邊來表示，邊集可以是空的。
無向邊：若頂點Vi到Vj之間的邊沒有方向，則稱這條邊為無向邊(Edge)，用無序偶(Vi,Vj)來表示。
如上圖所示，圖G1是一個無向圖，G1={V1,E1},其中
V1 = {A,B,C,D}
E1 = {(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}
有向邊:若從頂點Vi到Vj的邊有方向，則稱這條邊為有向邊，也稱為弧(Arc)，用有序偶<Vi,Vj>來表示，Vi稱為弧尾，Vj稱為弧頭。
如上圖所示，圖G2是一個有向圖，G2={V2,E2},其中
V2={A,B,C,D}
E2={<B,A>,<B,C>,<C,A>,<A,D>}
二、各種特殊的圖
1.簡單圖
在圖結構中，若不存在頂點到其自身的邊，且同一條邊不重復出現，則稱這樣的圖為簡單圖。
如下圖所示，下圖兩個都不是簡單圖
2.無向完全圖
在無向簡單圖中，如果任意兩個頂點之間都存在邊，則稱該圖為無向完全圖。含有n個頂點的無向完全圖有n*(n-1)/2條邊。
3.有向完全圖
在有向簡單圖中，如果任意兩個頂點之間都存在方向互為相反的兩條弧，則稱該圖為有向完全圖。含有n個頂點的有向完全圖有n*(n-1)條邊。
4.稀疏圖和稠密圖
這里稀疏和稠密是模糊的概念，都是相對而言的，通常認為邊或弧度小于n*logn(n是頂點的個數)的圖稱為稀疏圖，反之稱為稠密圖
5.權、網
有些圖的邊或者弧帶有與它相關的數字，這種與圖的邊或弧相關的數叫做權(Weight)，帶權的圖通常稱為網(Network)
6.子圖
假設有兩個圖G1={V1,E1},G2={V2,E2},如果V2?V1，E2?E1,則稱G2為G1的子圖。
三、圖的頂點與邊之間的關系
對于無向圖G=(V,E)，如果邊(V1,V2)∈E，則稱頂點V1和V2互為鄰接點(Adjacent)，即V1和V2相鄰接。邊(V1,V2)依附(incident)于頂點V1和V2，或者說邊(V1,V2)與頂點V1和V2相關聯。
頂點V的度(Degree)是和V相關聯的邊的數目，記為TD(V)，如下圖，頂點A與B互為鄰接點，邊(A,B)依附于頂點A與B上，頂點A的度為3。
對于有向圖G=(V,E)，如果有<V1,V2>∈E，則稱頂點V1鄰接到頂點V2，頂點V2鄰接自頂點V1。
以頂點V為頭的弧的數目稱為V的入度(InDegree)，記為ID(V)，以V為尾的弧的數目稱為V的出度(OutDegree)，記為OD(V)，因此頂點V的度為TD(V)=ID(V)+OD(V)。
下圖頂點A的入度是2，出度是1，所以頂點A的度是3
從頂點V1到頂點V2之間所經過的所有邊叫做路徑(Path)
下圖用紅線列舉了從頂點B到頂點D的四種不同路徑
有向圖的路徑是有方向的。
下圖用紅線列舉頂點B到頂點D的兩種路徑，而頂點A到頂點B就不存在路徑啦：
路徑的長度是路徑上的邊或弧的數目。
第一個頂點和最后一個頂點相同的路徑稱為回路或環(Cycle)。
序列中頂點不重復出現的路徑稱為簡單路徑，除了第一個頂點和最后一個頂點之外，其余頂點不重復出現的回路，稱為簡單回路或簡單環。
下圖左側是簡單環，右側不是簡單環：
在無向圖G中，如果從頂點V1到頂點V2有路徑，則稱V1和V2是連通的，如果對于圖中任意兩個頂點Vi和Vj都是連通的，則稱G是連通圖(ConnectedGraph)
下圖左側不是連通圖，右側是連通圖：
無向圖中的極大連通子圖稱為連通分量。
注意以下概念:
- 首先要是子圖，并且子圖是要連通的
- 連通子圖含有極大頂點數
-
具有極大頂點數的連通子圖包含依附于這些頂點的所有邊。
連通分量
在有向圖G中，如果對于每一對Vi到Vj都存在路徑，則稱G是強連通圖。
有向圖中的極大強連通子圖稱為有向圖的強連通分量。
下圖左側并不是強連通圖，右側是。并且右側是左側的極大強連通子圖，也是左側的強連通分量。
連通圖的生成樹：
所謂的一個連通圖的生成樹是一個極小的連通子圖，它含有圖中全部的n個頂點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。
如果一個有向圖恰有一個頂點入度為0，其余頂點的入度均為1，則是一棵有向樹。
