我們把數(shù)學基本思想歸結為三個核心要素：抽象、推理、模型。

——史寧中

1.判斷數(shù)學基本思想的原則

我從1994年開始關注教育，對教育作了一點哲學層面的思考。2005年承擔義務教育階段數(shù)學課程標準修訂工作后，我接觸了多位中小學教師和學科教學論的專家，并逐漸意識到：應當詳細地研究數(shù)學的基本思想，構建切實可行的方法把這些思想體現(xiàn)于數(shù)學教師的日常教學；應當理順中小學數(shù)學的脈絡，使得數(shù)學教師在教學活動中有所遵循；應當清晰地闡述數(shù)學教學內容中重要知識點的內涵與外延，對于數(shù)學教師能夠有所啟發(fā)。

大家都覺得數(shù)學思想很重要，但是說不清道不明，有的人把數(shù)學思想列出一大串。在數(shù)學教學中，通常說的等量替換、數(shù)形結合、遞歸法、換元法等，可以稱為數(shù)學思想方法，但不是數(shù)學基本思想。因為在述說這些概念的時候，必然要依附于某些具體的數(shù)學內容，因此這些概念在本質上是個案而不是一般。此外，這些概念也不是最基本的，比如關于等量替換，人們可以進一步追問：為什么可以在計算的過程中進行等量替換呢？這就意味著，作為一種方法，等量替換可以用其他的更為基本的原理推演出來?？梢?，數(shù)學基本思想是更上位的概念。為此，需要建立判斷數(shù)學基本思想的原則。我們建立兩條原則：

第一條原則，數(shù)學產生和發(fā)展所必須依賴的那些思想；

第二條原則，學習過數(shù)學的人應當具有的基本思維特征。

根據(jù)這兩條原則，我們把數(shù)學基本思想歸結為三個核心要素：抽象、推理、模型。

2.數(shù)學基本思想三要素之間的關系

數(shù)學基本思想三要素對于數(shù)學的作用以及相互之間的關系大體是這樣的：通過抽象，人們把現(xiàn)實世界中與數(shù)學有關的東西抽象到數(shù)學內部，形成數(shù)學的研究對象，思維特征是抽象能力強；通過推理，人們從數(shù)學的研究對象出發(fā)，在一些假設條件下，有邏輯地得到研究對象的性質以及描述研究對象之間關系的命題和計算結果，促進數(shù)學內部的發(fā)展，思維特征是邏輯推理能力強；通過模型，人們用數(shù)學所創(chuàng)造的語言、符號和方法，描述現(xiàn)實世界中的故事，構建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁，思維特征是表述事物規(guī)律的能力強。

當然，針對具體的數(shù)學內容，不可能把三者截然分開，特別是不能把抽象與推理、抽象與模型截然分開。在推理的過程中，往往需要從已有的數(shù)學知識出發(fā)，抽象出那些并不是直接來源于現(xiàn)實世界的概念和運算法則；在構建模型的過程中，往往需要在錯綜復雜的現(xiàn)實背景中抽象出最為本質的關系，并且用數(shù)學的語言予以表達。反之，抽象的過程往往需要借助邏輯推理；通過推理判斷概念之間的關系，判斷什么是命題的獨立性，什么是命題的相容性，最終抽象出公理體系；在眾多個案的運算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過推理驗證什么是最本質的規(guī)律，最終用抽象的符號表達一般性的運算法則。因此，在數(shù)學研究和學習的過程中，抽象、推理、模型這三者之間常常是你中有我，我中有你。

抽象、推理這是大家都公認的?？赡芤驗槲业难芯繉I(yè)是數(shù)理統(tǒng)計學，所以對數(shù)學的應用有很深的體會，感覺模型思想特別重要。我們提出這三個基本思想之后，在不同場合聽聽大家的意見，大家都覺得不錯，許多數(shù)學家也贊同。

現(xiàn)在我們更明確地提出：數(shù)學教學的最終目標，是要讓學習者會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。而數(shù)學的眼光就是抽象，數(shù)學的思維就是推理，數(shù)學的語言就是模型。這樣大家就更容易理解三個數(shù)學基本思想的意思和重要性了。

二

關于數(shù)學基本思想與數(shù)學“雙基”“四基”以及數(shù)學核心素養(yǎng)的傳承

普通高中數(shù)學課程標準所設定的核心素養(yǎng)的本質就是抽象、推理、模型。基于“四基”的數(shù)學教學就是基于數(shù)學核心素養(yǎng)的數(shù)學教學。

——史寧中

數(shù)學基本思想與數(shù)學課程標準中的“雙基”“四基”、數(shù)學核心素養(yǎng)，是一脈相承的，基于“四基”的數(shù)學教學就是基于數(shù)學核心素養(yǎng)的數(shù)學教學。相對于我們的傳統(tǒng)數(shù)學教育，數(shù)學核心素養(yǎng)并沒有另起爐灶。這也是我們一以貫之的事情。

20世紀90年代，國家的數(shù)學教學大綱將數(shù)學思想和方法含在數(shù)學“雙基”里，并對其有明確表述；《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出“四基”，將“數(shù)學基本思想”從“雙基”里單獨列出來，另外再加上“數(shù)學基本活動經(jīng)驗”，這是對“雙基”的繼承、發(fā)展。正在修訂的普通高中數(shù)學課程標準提出的數(shù)學核心素養(yǎng)有6個：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析，其中前三個就是數(shù)學基本思想，后三個是傳統(tǒng)的數(shù)學能力。

我們對數(shù)學教育，特別是基礎階段的數(shù)學教育至少應當清晰兩件事情：一是不能單純地讓學生記住一些概念，掌握一些解題的技巧，要讓學生形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)，特別是邏輯推理素養(yǎng)；二是學生邏輯推理素養(yǎng)的形成和發(fā)展，在本質上，不是靠教師“教”出來的，而是靠學生“悟”出來的。

雖然為了數(shù)學的嚴謹性，現(xiàn)代數(shù)學逐漸走向了符號化、形式化和公理化，但數(shù)學的教學過程卻應當反其道而行之，給學生創(chuàng)造直觀思維的機會，給學生的“悟”留有充分的時間和空間；雖然概念的表達是符號的，但對概念的認識應當是有具體背景的；雖然證明的過程是形式的，但對證明的理解應當是直觀的；雖然邏輯的基礎是基于公理的，但思維的過程應當是歸納的。為了實現(xiàn)這樣的教學過程，就要求教師在數(shù)學教學活動中，更多地關心學生的思維過程，抓住數(shù)學的本質，創(chuàng)設合適的教學情境，提出合適的問題，啟發(fā)學生獨立思考或與他人進行有價值的討論，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數(shù)學的基本思想，積累數(shù)學思維的經(jīng)驗，形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。這就是基于“四基”的數(shù)學教學，這也是未來將要提倡的基于“數(shù)學核心素養(yǎng)”的數(shù)學教學。

本文作者：史寧中，東北師范大學資深教授，博士研究生導師，國內著名數(shù)理統(tǒng)計學家和教育家，義務教育數(shù)學課程標準修訂組組長，普通高中數(shù)學課程標準修訂組組長，教育部中小學教材審查委員，曾任國務院學位委員會學科評議組成員、教育部科學技術委員會數(shù)理學部委員、中國概率統(tǒng)計學會副理事長、東北師范大學校長。