前言
本篇完全轉(zhuǎn)載于常用排序算法總結(jié)(二)。
其中有部分代碼進(jìn)行了更改，更改成java語(yǔ)言。
非對(duì)比類排序算法
非比較排序算法：計(jì)數(shù)排序，基數(shù)排序，桶排序。在一定條件下，它們的時(shí)間復(fù)雜度可以達(dá)到O(n)。
計(jì)數(shù)排序
計(jì)數(shù)排序用到一個(gè)額外的計(jì)數(shù)數(shù)組C，根據(jù)數(shù)組C來(lái)將原數(shù)組A中的元素排到正確的位置。
通俗地理解，例如有10個(gè)年齡不同的人，假如統(tǒng)計(jì)出有8個(gè)人的年齡不比小明大（即小于等于小明的年齡，這里也包括了小明），那么小明的年齡就排在第8位，通過(guò)這種思想可以確定每個(gè)人的位置，也就排好了序。當(dāng)然，年齡一樣時(shí)需要特殊處理（保證穩(wěn)定性）：通過(guò)反向填充目標(biāo)數(shù)組，填充完畢后將對(duì)應(yīng)的數(shù)字統(tǒng)計(jì)遞減，可以確保計(jì)數(shù)排序的穩(wěn)定性。
計(jì)數(shù)排序的步驟如下：
- 統(tǒng)計(jì)數(shù)組A中每個(gè)值A(chǔ)[i]出現(xiàn)的次數(shù)，存入C[A[i]]
- 從前向后，使數(shù)組C中的每個(gè)值等于其與前一項(xiàng)相加，這樣數(shù)組C[A[i]]就變成了代表數(shù)組A中小于等于A[i]的元素個(gè)數(shù)
- 反向填充目標(biāo)數(shù)組temp：將數(shù)組元素A[i]放在數(shù)組B的第C[A[i]]個(gè)位置（下標(biāo)為C[A[i]] - 1），每放一個(gè)元素就將C[A[i]]遞減
// 分類 ------------ 內(nèi)部非比較排序
// 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) --------- 數(shù)組
// 最差時(shí)間復(fù)雜度 ---- O(n + k)
// 最優(yōu)時(shí)間復(fù)雜度 ---- O(n + k)
// 平均時(shí)間復(fù)雜度 ---- O(n + k)
// 所需輔助空間 ------ O(n + k)
// 穩(wěn)定性 ----------- 穩(wěn)定
public static void countingSort(int A[], int n) {
int[] C = new int[99];
int[] temp = new int[n];
for (int i : A) {
C[i]++;
}
for (int i = 1; i < C.length; i++) {
C[i] = C[i] + C[i - 1];
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
temp[--C[A[i]]] = A[i];
}
for (int i = 0; i < temp.length; i++) {
A[i] = temp[i];
}
}
計(jì)數(shù)排序的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度與數(shù)組A的數(shù)據(jù)范圍（A中元素的最大值與最小值的差加上1）有關(guān)，因此對(duì)于數(shù)據(jù)范圍很大的數(shù)組，計(jì)數(shù)排序需要大量時(shí)間和內(nèi)存。
例如：對(duì)0到99之間的數(shù)字進(jìn)行排序，計(jì)數(shù)排序是最好的算法，然而計(jì)數(shù)排序并不適合按字母順序排序人名，將計(jì)數(shù)排序用在基數(shù)排序算法中，能夠更有效的排序數(shù)據(jù)范圍很大的數(shù)組。
單純的計(jì)數(shù)排序，只適用于非負(fù)數(shù)數(shù)列排序，而且temp數(shù)組的大小與A中元素的最大值和最小值差有關(guān)系，不確定性因素很強(qiáng)。
基數(shù)排序
基數(shù)排序?qū)⑺写容^正整數(shù)統(tǒng)一為同樣的數(shù)位長(zhǎng)度，數(shù)位較短的數(shù)前面補(bǔ)零。然后，從最低位開(kāi)始進(jìn)行基數(shù)為10的計(jì)數(shù)排序，一直到最高位計(jì)數(shù)排序完后，數(shù)列就變成一個(gè)有序序列（利用了計(jì)數(shù)排序的穩(wěn)定性）。
// 分類 ------------- 內(nèi)部非比較排序
// 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) ---------- 數(shù)組
// 最差時(shí)間復(fù)雜度 ---- O(n * dn)
// 最優(yōu)時(shí)間復(fù)雜度 ---- O(n * dn)
// 平均時(shí)間復(fù)雜度 ---- O(n * dn)
// 所需輔助空間 ------ O(n * dn)
// 穩(wěn)定性 ----------- 穩(wěn)定
public static void lsdRadixSort(int arr[], int n) {
int dn = 3; // 假設(shè)最高是三位數(shù)排序
for (int d = 1; d <= dn; d++) {
countingSort(arr, n, d);
}
}
// 計(jì)數(shù)排序
public static void countingSort(int arr[], int n, int d) {
int[] C = new int[10]; // 0-9共十個(gè)數(shù)
int[] temp = new int[n];
for (int i : arr) {
C[getDigit(i, d)]++;
}
for (int i = 1; i < C.length; i++) {
C[i] = C[i] + C[i - 1];
}
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
int digit = getDigit(arr[i], d);
temp[--C[digit]] = arr[i];
}
for (int i = 0; i < temp.length; i++) {
arr[i] = temp[i];
}
}
// 獲取第n位數(shù)
public static int getDigit(int x, int d) {
int[] radix = {1, 1, 10, 100};
return (x/radix[d]) % 10;
}
下圖給出了對(duì){ 329, 457, 657, 839, 436, 720, 355 }進(jìn)行基數(shù)排序的簡(jiǎn)單演示過(guò)程
基數(shù)排序的時(shí)間復(fù)雜度是O(n * dn)，其中n是待排序元素個(gè)數(shù)，dn是數(shù)字位數(shù)。這個(gè)時(shí)間復(fù)雜度不一定優(yōu)于O(nlogn)，dn的大小取決于數(shù)字位的選擇（比如比特位數(shù)），和待排序數(shù)據(jù)所屬數(shù)據(jù)類型的全集的大??；dn決定了進(jìn)行多少輪處理，而n是每輪處理的操作數(shù)目。
如果考慮和比較排序進(jìn)行對(duì)照，基數(shù)排序的形式復(fù)雜度雖然不一定更小，但由于不進(jìn)行比較，因此其基本操作的代價(jià)較小，而且如果適當(dāng)?shù)倪x擇基數(shù)，dn一般不大于log n，所以基數(shù)排序一般要快過(guò)基于比較的排序，比如快速排序。由于整數(shù)也可以表達(dá)字符串（比如名字或日期）和特定格式的浮點(diǎn)數(shù)，所以基數(shù)排序并不是只能用于整數(shù)排序。
桶排序
桶排序也叫箱排序。工作的原理是將數(shù)組元素映射到有限數(shù)量個(gè)桶里，利用計(jì)數(shù)排序可以定位桶的邊界，每個(gè)桶再各自進(jìn)行桶內(nèi)排序（使用其它排序算法或以遞歸方式繼續(xù)使用桶排序）。
// 分類 ------------- 內(nèi)部非比較排序
// 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) --------- 數(shù)組
// 最差時(shí)間復(fù)雜度 ---- O(nlogn)或O(n^2)，只有一個(gè)桶，取決于桶內(nèi)排序方式
// 最優(yōu)時(shí)間復(fù)雜度 ---- O(n)，每個(gè)元素占一個(gè)桶
// 平均時(shí)間復(fù)雜度 ---- O(n)，保證各個(gè)桶內(nèi)元素個(gè)數(shù)均勻即可
// 所需輔助空間 ------ O(n + bn)
// 穩(wěn)定性 ----------- 穩(wěn)定
/* 本程序用數(shù)組模擬桶 */
const int bn = 5; // 這里排序[0,49]的元素，使用5個(gè)桶就夠了，也可以根據(jù)輸入動(dòng)態(tài)確定桶的數(shù)量
int C[bn]; // 計(jì)數(shù)數(shù)組，存放桶的邊界信息
void InsertionSort(int A[], int left, int right)
{
for (int i = left + 1; i <= right; i++) // 從第二張牌開(kāi)始抓，直到最后一張牌
{
int get = A[i];
int j = i - 1;
while (j >= left && A[j] > get)
{
A[j + 1] = A[j];
j--;
}
A[j + 1] = get;
}
}
int MapToBucket(int x)
{
return x / 10; // 映射函數(shù)f(x)，作用相當(dāng)于快排中的Partition，把大量數(shù)據(jù)分割成基本有序的數(shù)據(jù)塊
}
void CountingSort(int A[], int n)
{
for (int i = 0; i < bn; i++)
{
C[i] = 0;
}
for (int i = 0; i < n; i++) // 使C[i]保存著i號(hào)桶中元素的個(gè)數(shù)
{
C[MapToBucket(A[i])]++;
}
for (int i = 1; i < bn; i++) // 定位桶邊界：初始時(shí)，C[i]-1為i號(hào)桶最后一個(gè)元素的位置
{
C[i] = C[i] + C[i - 1];
}
int *B = (int *)malloc((n) * sizeof(int));
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)// 從后向前掃描保證計(jì)數(shù)排序的穩(wěn)定性(重復(fù)元素相對(duì)次序不變)
{
int b = MapToBucket(A[i]); // 元素A[i]位于b號(hào)桶
B[--C[b]] = A[i]; // 把每個(gè)元素A[i]放到它在輸出數(shù)組B中的正確位置上
// 桶的邊界被更新：C[b]為b號(hào)桶第一個(gè)元素的位置
}
for (int i = 0; i < n; i++)
{
A[i] = B[i];
}
free(B);
}
void BucketSort(int A[], int n)
{
CountingSort(A, n); // 利用計(jì)數(shù)排序確定各個(gè)桶的邊界（分桶）
for (int i = 0; i < bn; i++) // 對(duì)每一個(gè)桶中的元素應(yīng)用插入排序
{
int left = C[i]; // C[i]為i號(hào)桶第一個(gè)元素的位置
int right = (i == bn - 1 ? n - 1 : C[i + 1] - 1);// C[i+1]-1為i號(hào)桶最后一個(gè)元素的位置
if (left < right) // 對(duì)元素個(gè)數(shù)大于1的桶進(jìn)行桶內(nèi)插入排序
InsertionSort(A, left, right);
}
}
下圖給出了對(duì){ 29, 25, 3, 49, 9, 37, 21, 43 }進(jìn)行桶排序的簡(jiǎn)單演示過(guò)程
桶排序不是比較排序，不受到O(nlogn)下限的影響，它是鴿巢排序的一種歸納結(jié)果，當(dāng)所要排序的數(shù)組值分散均勻的時(shí)候，桶排序擁有線性的時(shí)間復(fù)雜度。
終
計(jì)數(shù)排序是根據(jù)統(tǒng)計(jì)量來(lái)進(jìn)行排序，不進(jìn)行比較，適用于更廣的場(chǎng)景。
基數(shù)排序是對(duì)計(jì)數(shù)排序的優(yōu)化，因?yàn)橛?jì)數(shù)排序的空間負(fù)責(zé)度取決于數(shù)列中最大數(shù)值和最小數(shù)值的差，如果相差非常大，耗費(fèi)空間就非常多。
桶排序也可以視為對(duì)計(jì)數(shù)排序的優(yōu)化，只要桶的間隔選擇的好，時(shí)間復(fù)雜度能得到很大的優(yōu)化。
