姊妹不等式

圖解姊妹不等式

下圖中的一組不等式高考壓軸題經(jīng)常考到，知道的人要比不知道的人強(qiáng)好多。


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“姊妹不等式”的“家譜”圖

你可以以“姊妹不等式”為基礎(chǔ)理解下面的關(guān)系圖：


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姊妹不等式導(dǎo)出的放縮工具

姊妹不等式，常常作為放縮工具使用。下面的放縮公式在考試中用到時(shí)要給出證明過程。

  1. \ln (x+1) \leqslant x(x>-1)
  2. e^{x} \geqslant x+1(x \in R)
  3. \ln x \geqslant \frac{2(x-1)}{x+1}(x \geqslant 1)
  4. \ln x \leqslant \frac{2(x-1)}{x+1}(0<x \leqslant 1)
  5. \ln x \leqslant \frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)(x \geqslant 1)
  6. \ln x \geqslant \frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{x}\right)(0<x \leqslant 1)
  7. \ln (1+x) \geqslant x-\frac{x^{2}}{2}(x \geqslant 0)

有時(shí)間就證明上面的公式，是個(gè)不錯(cuò)的選擇，一舉多得。

放縮案例

對數(shù)放縮

把對數(shù)函數(shù)放大到一次函數(shù)

\ln x \leq x-1
還可以再大膽一些
\ln < x(注意沒有等號了哦！）
當(dāng)然還可以這樣：\ln (x+1) \leq x.

放縮成雙撇函數(shù)

\ln x < \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})(x>1)
\ln x >\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})(0<x<1)

放縮成二次函數(shù)

\ln x \leq x^2-x
\ln (1+x) \leq x-\frac{1}{2}x^2\quad (-1<x \leq 0)
\ln (1+x) \geq x-\frac{1}{2}x^2\quad (x\geq 0)

放縮成反比例函數(shù)

\ln x \geq 1-\frac{1}{x}
\ln x>\frac{2(x-1)}{x+1}(x>1)
\ln x<\frac{2(x-1)}{x+1}(0<x<1)
\ln (1+x)=\frac{x}{1+x}
\ln (1+x)>\frac{2 x}{1+x}(x>0)
\ln (1+x)<\frac{2 x}{1+x}(x<0)

指數(shù)放縮

放縮成一次函數(shù)

e^{2}\geq x+1
e^{x}>x
e^{x}\geq ex

放縮成類反比例函數(shù)

e^{*} \leq \frac{1}{1-x}(x \leq 0)
e^{x}<-\frac{1}{x}(x<0)

放縮成二次函數(shù)

e^{x} \geq 1+x+\frac{1}{2} x^{2}(x>0)
e^{x}\leq 1+x+\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{6} x^{3}

指對放縮

e^{x}-\ln x \geq (x+1)-(x-1)=2

三角函數(shù)放縮

\sin x<x<\tan x(x>0)
\sin x \geq x-\frac{1}{2} x^{2}
1=\frac{1}{2} x^{2} \leq \cos x \leq 1-\frac{1}{2} \sin ^{2} x

以直線y=x-1為切線的函數(shù)

y=\ln x
y=e^{x-1}-1
y=x^{2}-x
y=1-\frac{1}{x}
y=x \ln x

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