參見貪心算法——最小生成樹算法

目錄

• 1 最小生成樹問題
• 2 貪心選擇性質(zhì)
  2.1 貪心選擇框架——選擇安全邊
  2.2 安全邊的辨認(rèn)規(guī)則
• 3 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)
• 4 Kruskal算法
• 5 Prim算法

1 最小生成樹問題

2 貪心選擇性質(zhì)

2.1 貪心選擇框架——選擇安全邊

貪心策略：

該算法的理解：

• a.集合A總保持無環(huán)狀態(tài)，因?yàn)槭且豢脴洌灰虼藢?duì)于集合A為安全的邊(u, v)所連接的是G_A中不同的連通分量；因此，每執(zhí)行一次循環(huán)，減少一棵樹
• b.算法執(zhí)行的任意時(shí)刻，圖G_A = (V, A)是一個(gè)森林，G_A中的每個(gè)連通分量是一棵樹
  算法開始時(shí)，集合A為空，森林中包含|V|棵樹，每棵樹只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)；
• c.由a, b可知，while循環(huán)總共執(zhí)行|V| - 1次，當(dāng)整個(gè)森林僅包含一棵樹時(shí)，終止

循環(huán)不變式：
在每次循環(huán)之前，A是某棵最小生成樹的一個(gè)子集。

安全邊：滿足如下條件的邊稱之為安全邊。
將邊(u, v)加入到集合A中，使得A不違反循環(huán)不變式，即AU{(u, v)}也是某棵最小生成樹的子集。

2.2 安全邊的辨認(rèn)規(guī)則

• 特別注意：之前將切割和尊重誤解了。切割，可以將A分為不相連通的兩部分，而不是將A放到一邊。

貪心策略中辨認(rèn)安全邊的規(guī)則：

一個(gè)推論：

• 根據(jù)定義：因?yàn)榧螦中不存在橫跨該切割的邊
  該切割區(qū)分了C，將集合A分為兩部分，C和A-C，但是C和A-C并不連通。
  所以不存在橫跨該切割的一條輕量級(jí)邊。

3 最優(yōu)子結(jié)構(gòu)

如果一個(gè)問題的最優(yōu)解中包含了子問題的最優(yōu)解，則該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)。
最小生成樹是滿足最優(yōu)子結(jié)構(gòu)的，下面會(huì)給出證明：
最優(yōu)子結(jié)構(gòu)描述：假設(shè)我們已經(jīng)得到了一個(gè)圖的最小生成樹(MST) T，(u, v)是這棵樹中的任意一條邊。如圖所示：

現(xiàn)在我們把這條邊移除，就得到了兩棵子樹T₁和T_{2，
如圖：}

• T₁是圖G₁=(V₁, E₁)的最小生成樹，G₁是由T₁的頂點(diǎn)導(dǎo)出的圖G的子圖，E₁={(x, y)∈E, x, y ∈V₁}
  同理可得T₂是圖G₂=(V₂, E₂)的最小生成樹，G₂是由T₂的頂點(diǎn)導(dǎo)出的圖G的子圖，E₂={(x, y)∈E, x, y ∈V₂}
  現(xiàn)在我們來證明上述結(jié)論：使用剪貼法。w(T)表示T樹的權(quán)值和。
  首先權(quán)值關(guān)系滿足：w(T) = w(u, v)+w(T₁)+w(T₂)
  假設(shè)存在一棵樹T₁'比T₁更適合圖G1，那么就存在T'={(u,v)}UT₁'UT₂'，那么T'就會(huì)比T更適合圖G，這與T是最優(yōu)解相矛盾。得證。
• 特別注意，上圖中(u, v)這條邊是連接兩棵樹的最小邊（安全邊）

4 Kruskal算法

• 集合A是一個(gè)森林，每次加入到集合A中的安全邊永遠(yuǎn)是權(quán)重最小的連接兩個(gè)不同分量的邊。

• 運(yùn)行時(shí)間分析
  集合使用不相交集（并查集）實(shí)現(xiàn)，參見基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)ADT及其實(shí)現(xiàn)
  排序：O(ElgE)
  O(E)個(gè)FIND-SET和UNION操作，|V|個(gè)MAKE=SET操作：O((V+E)α(V))
  若G是連通的|E| ≥|V| -1，因此總時(shí)間為O(ElgE)，|E| < |V|2，則有O(ElgV)。

5 Prim算法——廣度優(yōu)先搜索

• 集合A是一棵樹，每次加入到A中的安全邊永遠(yuǎn)是連接A和A之外某個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊中權(quán)重最小的邊。
• 廣度優(yōu)先搜索的思想——當(dāng)從Q中取出一個(gè)點(diǎn)u時(shí)，即要檢查u的所有相鄰的點(diǎn)，并更新相關(guān)的點(diǎn)。
• Prim算法與分支限界法類似，利用廣度優(yōu)先搜索和優(yōu)先隊(duì)列思想，只不過是沒有使用分支限界思想。因?yàn)榭梢宰C明貪心選擇性質(zhì)，使之可以組成一個(gè)最優(yōu)解。

• 該算法的一個(gè)簡(jiǎn)要分析：
  初始化：r.key = 0，其余節(jié)點(diǎn)u.key = 無窮大；
  第一次循環(huán)：將r從Q中剔除，并更新r的所有鄰節(jié)點(diǎn)的key
  以此類推；
  所有不在樹A中的結(jié)點(diǎn)都存放在一個(gè)基于key屬性的最小優(yōu)先隊(duì)列Q中。對(duì)于每個(gè)結(jié)點(diǎn)v，屬性v.key保存的是連接v和樹中結(jié)點(diǎn)的所有邊中最小邊的權(quán)重。
• 循環(huán)不變式：
  1）A = {(v, v.π): v∈V-{r}-Q}
  2）已經(jīng)加入到最小生成樹的結(jié)點(diǎn)集合為V-Q
  3）對(duì)于所有的結(jié)點(diǎn)v∈Q，如果v.π≠NIL，則v.key < ∞并且v.key是連接結(jié)點(diǎn)v和最小生成樹中某個(gè)結(jié)點(diǎn)的輕量級(jí)邊(v, v.π)的權(quán)重
• 正確性：找出結(jié)點(diǎn)u∈Q，該結(jié)點(diǎn)是某條橫跨切割(V-Q, Q)的輕量級(jí)邊(u.π, u)的一個(gè)端點(diǎn)（第一次循環(huán)除外）。接著將u從隊(duì)列Q中刪除，并將其加入到集合V-Q中，也即將(u.π, u)加入到集合A中。
• 運(yùn)行時(shí)間分析：
  1）如果用二叉堆
  建堆：O(V)
  EXTRACT-MIN：O(VlgV)
  判斷結(jié)點(diǎn)是否屬于Q：O(E)，利用一個(gè)標(biāo)志位來指明結(jié)點(diǎn)是否屬于Q（O(1)即可判斷）
  DECREASE-KEY：O(ElgV)
  總時(shí)間為O(ElgV)
  2）如果用斐波那契堆
  DECREASE-KEY：O(E)
  總時(shí)間為O(E+VlgV)