最小生成樹

前言

在電子電路設計中,我們常常需要將多個組件的針腳連接在一起,要連接n個針腳,我們可以使用n-1根連線。很顯然,我們希望所使用的連線最短。

可以將上述布線問題用一個連通無向圖 G = {V, E} 來表示,V是針腳的集合,E是針腳之間的可能連接,并且為每條邊 {u , v}屬于E,我們為其賦權重 w 作為連接針腳u和v的代價。我們希望找到一個無環子集T,既能連接所有的針腳,又有最小代價。

因為T是無環子集,并且連通所有結點,因此T必然是一棵樹,我們稱這樣的樹是圖的最小生成樹。

求解最小生成樹有兩種方法,Kruskal算法和Prim算法。

本文中使用的圖

Kruskal算法

Kruskal算法,在所有連接森林中兩棵不同樹的邊里邊,找到權重最小的邊加入到森林。

簡單地說,Kruskal算法將邊排序,根據貪心算法思維,選擇最短邊。但最小生成樹的結果要求是無環的,且每個頂點都需要包括,如何確保這個結果呢?

將圖中的每個頂點當成一棵單獨的樹,如果選擇的最短邊為{u、v},森林中這兩棵樹并未交集,則合并這兩棵樹到森林中。直到森林中包含所有的結點。

算法導論上的偽碼如下:

Kruskal算法中的難點就在于確保無環且包含所有結點,并且是連通圖。

將每個結點都看成一棵樹,如果選中的邊兩頂點位于不同的樹中,則合并這兩棵樹加入森林,這就間接使兩個頂點相連了。如果兩個已經連通的頂點已經被加入森林中,那么就不符合條件而不會被重復加入,因此也會是無環的。

/*
 * 將邊按權重從小到大排列
 * 如果邊的兩個頂點在不同樹中則將這兩棵樹合并,且加入森林
 * 在森林中的頂點則是連通的,已連通的頂點在森林中,也不會重復添加邊,達到無環要求
 */
public void kruskal(){
    MatrixGraph graph = initUndigraph();
    MatrixEdge[] array = getEdges(graph, null);
    //為邊排序
    sort(array, 0, array.length-1);
    //構造森林,森林中的元素就是一棵棵樹,初始樹中只包含一個頂點
    ArrayList<HashSet<Vertex>> list = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < graph.mList.size(); i++) {
        HashSet<Vertex> set = new HashSet<>();
        set.add(graph.mList.get(i));
        list.add(set);
    }
    MatrixEdge edge = null;
    for (int i = 0; i < array.length; i++) {
        edge = array[i];
        Vertex v1 = edge.v1;
        Vertex v2 = edge.v2;
        int count1 = -1;
        int count2 = -1;
        for (int j = 0; j < list.size(); j++) {
            HashSet<Vertex> set = list.get(j);
            //找到頂點在森林中的位置
            if (set.contains(v1)) {
                count1 = j;
            }
            if (set.contains(v2)) {
                count2 = j;
            }
        }
        if (count1 == -1 || count2 == -1) {
            return;
        }else {
            if (count1 != count2) {
                //如果頂點分別在不同的樹中,則合并這兩棵樹并且刪除之前的舊樹
                //因為會合并樹,所以已經連通的頂點就會在合并的樹中,在同一棵樹中
                //count1等于count2,所以能保證無環
                //最終森林中只有一棵樹,且包含全部頂點
                HashSet<Vertex> set1 = list.get(count1);
                HashSet<Vertex> set2 = list.get(count2);
                set1.addAll(set2);
                if (count1 < count2) {
                    list.remove(count1);
                    list.remove(count2-1);
                }else {
                    list.remove(count2);
                    list.remove(count1-1);
                }
                list.add(set1);
                System.out.println(edge);
            }
        }
    }
}

值得一提的是,圖中兩種存儲方式,矩陣和鏈表,Kruskal算法需要對所有邊排序,而鄰接鏈表中直觀獲取所有邊比較難,所以需要用鄰接矩陣存儲圖。

Prim算法

Prim算法,從圖中任意挑選出一個頂點放入集合list中,在list的所有頂點中選出邊最短的一條邊,并且將邊的另一頂點也加入list中,如此重復到所有頂點都已加入到list中。

算法步驟:

  • 輸入:一個加權連通圖,其中頂點集合為V,邊集合為E
  • 初始化:Vnew = {x},其中x為集合V中的任一節點(起始點),Enew = {},為空;
  • 重復下列操作,直到Vnew = V:
    a: 在集合E中選取權值最小的邊<u, v>,其中u為集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合當中,并且v∈V(如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊,則可任意選取其中之一);
    b: 將v加入集合Vnew中,將<u, v>邊加入集合Enew中
  • 輸出:使用集合Vnew和Enew來描述所得到的最小生成樹。

prim算法是比kruskal更簡單一點。因為prim算法需要計算以某頂點為起點的最小邊,所以使用鄰接鏈表存儲圖更合適。

/*
 * 構造新結點list,先從圖中選中任意結點加入
 * 不斷遍歷list中的結點,選擇與結點相關的最短邊,且將邊的另一端加入到list中
 * 選擇的最短邊的另一個結點之前不能在list中
 * 最后list與圖中頂點表相同則結束整個過程
 */
public void prim(){
    Graph graph = initUndigraph();
    Vertex start = graph.mList.get(0);
    //構建新list
    List<Vertex> oldList = graph.mList;
    List<Vertex> newList = new ArrayList<Vertex>();
    newList.add(start);
    Vertex v = null;
    Arc vArc = null;
    //最短邊的權重、對應的弧、對應的弧起點
    int vMinW = Integer.MAX_VALUE;
    Arc vMinArc = null;
    Vertex vMinVertex = null;
    while (newList.size() < oldList.size()) {
        //查找出新list中最短邊
        for (int i = 0; i < newList.size(); i++) {
            v = newList.get(i);
            vArc = v.firstArc;
            while (vArc != null) {
                if (vMinW > vArc.weight && !newList.contains(vArc.vertex)) {
                    vMinW = vArc.weight;
                    vMinArc = vArc;
                    vMinVertex = v;
                }
                vArc = vArc.next;
            }
        }
        //輸出結果
        if (vMinArc != null && vMinArc.vertex != null && !newList.contains(vMinArc.vertex)) {
            System.out.println(vMinVertex.info + "    " + vMinArc.weight + "    " + vMinArc.vertex.info);
            newList.add(vMinArc.vertex);
            vMinW = Integer.MAX_VALUE;
        }
    }
}

所有代碼均上傳至本人的github,歡迎訪問。從本文來看,圖的不同存儲方式也能帶來不同的便利。

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