前言
在電子電路設計中，我們常常需要將多個組件的針腳連接在一起，要連接n個針腳，我們可以使用n-1根連線。很顯然，我們希望所使用的連線最短。
可以將上述布線問題用一個連通無向圖 G = {V, E} 來表示，V是針腳的集合，E是針腳之間的可能連接，并且為每條邊 {u , v}屬于E，我們為其賦權重 w 作為連接針腳u和v的代價。我們希望找到一個無環子集T，既能連接所有的針腳，又有最小代價。
因為T是無環子集，并且連通所有結點，因此T必然是一棵樹，我們稱這樣的樹是圖的最小生成樹。
求解最小生成樹有兩種方法，Kruskal算法和Prim算法。
Kruskal算法
Kruskal算法，在所有連接森林中兩棵不同樹的邊里邊，找到權重最小的邊加入到森林。
簡單地說，Kruskal算法將邊排序，根據貪心算法思維，選擇最短邊。但最小生成樹的結果要求是無環的，且每個頂點都需要包括，如何確保這個結果呢？
將圖中的每個頂點當成一棵單獨的樹，如果選擇的最短邊為{u、v}，森林中這兩棵樹并未交集，則合并這兩棵樹到森林中。直到森林中包含所有的結點。
算法導論上的偽碼如下：
Kruskal算法中的難點就在于確保無環且包含所有結點，并且是連通圖。
將每個結點都看成一棵樹，如果選中的邊兩頂點位于不同的樹中，則合并這兩棵樹加入森林，這就間接使兩個頂點相連了。如果兩個已經連通的頂點已經被加入森林中，那么就不符合條件而不會被重復加入，因此也會是無環的。
/*
* 將邊按權重從小到大排列
* 如果邊的兩個頂點在不同樹中則將這兩棵樹合并，且加入森林
* 在森林中的頂點則是連通的，已連通的頂點在森林中，也不會重復添加邊，達到無環要求
*/
public void kruskal(){
MatrixGraph graph = initUndigraph();
MatrixEdge[] array = getEdges(graph, null);
//為邊排序
sort(array, 0, array.length-1);
//構造森林，森林中的元素就是一棵棵樹，初始樹中只包含一個頂點
ArrayList<HashSet<Vertex>> list = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < graph.mList.size(); i++) {
HashSet<Vertex> set = new HashSet<>();
set.add(graph.mList.get(i));
list.add(set);
}
MatrixEdge edge = null;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
edge = array[i];
Vertex v1 = edge.v1;
Vertex v2 = edge.v2;
int count1 = -1;
int count2 = -1;
for (int j = 0; j < list.size(); j++) {
HashSet<Vertex> set = list.get(j);
//找到頂點在森林中的位置
if (set.contains(v1)) {
count1 = j;
}
if (set.contains(v2)) {
count2 = j;
}
}
if (count1 == -1 || count2 == -1) {
return;
}else {
if (count1 != count2) {
//如果頂點分別在不同的樹中，則合并這兩棵樹并且刪除之前的舊樹
//因為會合并樹，所以已經連通的頂點就會在合并的樹中，在同一棵樹中
//count1等于count2，所以能保證無環
//最終森林中只有一棵樹，且包含全部頂點
HashSet<Vertex> set1 = list.get(count1);
HashSet<Vertex> set2 = list.get(count2);
set1.addAll(set2);
if (count1 < count2) {
list.remove(count1);
list.remove(count2-1);
}else {
list.remove(count2);
list.remove(count1-1);
}
list.add(set1);
System.out.println(edge);
}
}
}
}
值得一提的是，圖中兩種存儲方式，矩陣和鏈表，Kruskal算法需要對所有邊排序，而鄰接鏈表中直觀獲取所有邊比較難，所以需要用鄰接矩陣存儲圖。
Prim算法
Prim算法，從圖中任意挑選出一個頂點放入集合list中，在list的所有頂點中選出邊最短的一條邊，并且將邊的另一頂點也加入list中，如此重復到所有頂點都已加入到list中。
算法步驟：
- 輸入：一個加權連通圖，其中頂點集合為V，邊集合為E
- 初始化：Vnew = {x}，其中x為集合V中的任一節點（起始點），Enew = {},為空；
- 重復下列操作，直到Vnew = V：
a： 在集合E中選取權值最小的邊<u, v>，其中u為集合Vnew中的元素，而v不在Vnew集合當中，并且v∈V（如果存在有多條滿足前述條件即具有相同權值的邊，則可任意選取其中之一）；
b： 將v加入集合Vnew中，將<u, v>邊加入集合Enew中 - 輸出：使用集合Vnew和Enew來描述所得到的最小生成樹。
prim算法是比kruskal更簡單一點。因為prim算法需要計算以某頂點為起點的最小邊，所以使用鄰接鏈表存儲圖更合適。
/*
* 構造新結點list，先從圖中選中任意結點加入
* 不斷遍歷list中的結點，選擇與結點相關的最短邊，且將邊的另一端加入到list中
* 選擇的最短邊的另一個結點之前不能在list中
* 最后list與圖中頂點表相同則結束整個過程
*/
public void prim(){
Graph graph = initUndigraph();
Vertex start = graph.mList.get(0);
//構建新list
List<Vertex> oldList = graph.mList;
List<Vertex> newList = new ArrayList<Vertex>();
newList.add(start);
Vertex v = null;
Arc vArc = null;
//最短邊的權重、對應的弧、對應的弧起點
int vMinW = Integer.MAX_VALUE;
Arc vMinArc = null;
Vertex vMinVertex = null;
while (newList.size() < oldList.size()) {
//查找出新list中最短邊
for (int i = 0; i < newList.size(); i++) {
v = newList.get(i);
vArc = v.firstArc;
while (vArc != null) {
if (vMinW > vArc.weight && !newList.contains(vArc.vertex)) {
vMinW = vArc.weight;
vMinArc = vArc;
vMinVertex = v;
}
vArc = vArc.next;
}
}
//輸出結果
if (vMinArc != null && vMinArc.vertex != null && !newList.contains(vMinArc.vertex)) {
System.out.println(vMinVertex.info + " " + vMinArc.weight + " " + vMinArc.vertex.info);
newList.add(vMinArc.vertex);
vMinW = Integer.MAX_VALUE;
}
}
}
所有代碼均上傳至本人的github，歡迎訪問。從本文來看，圖的不同存儲方式也能帶來不同的便利。
