博弈還真是有點意思
最近在看一本有關博弈的書，其中有幾個例子比較有意思，展列在此，供大家消遣，前半部分是問題，后半部分是分析。在看分析之前可以先自己思考下。
海盜分贓
假如有五名海盜掠奪到了100枚金幣，這時為了公平起見，他們決定按照如下思路分配：
1.首先，抽簽決定自己的號碼
2.其次，由1號提出分配方案，然后大家5人進行表決，當且僅當超過半數的人同意時，按照他的提案進行分配，否則他將被扔入大海喂鯊魚。
3.然后，假如1號死后，再由2號提出分配方案，然后大家4人進行表決，當且僅當超過半數的人同意時，按照他的提案進行分配，否則他將被扔入大海喂鯊魚。
4.最后以此類推，直到最終得出一個分配方案。
如果你是1號海盜，那么你應該提出怎樣的分配方案可以使自己的獲利最大？
巫婆吃公主
有若干個巫婆和一個公主居住在一個小島上。如果一個巫婆吃掉公主，她就會變成公主。但是她會喪失自己的法術，就有可能會被其他巫婆吃掉。假如所有巫婆在能夠保命的情況下都希望自己能夠變成公主，假如有20個巫婆，那么公主能不能安全的生活在島上呢？
海盜分贓博弈
乍一看，問題還是比較復雜，我們不妨將此問題進行簡化。假如只有一名海盜，那么他當然希望所有的金幣就是自己的啦。這種屬于不需要分配，就可以占為己有的情況。這種情況下，這名海盜得到100枚金幣。
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那么把這個模型稍微復雜一點兒，如果有兩名海盜。那么如果先分配的1號海盜給2號海盜的金幣少于100枚，2號海盜就會不同意他的分配方法。按照規則，1號海盜被扔到海里喂鯊魚，之后對于2號海盜就回到了之前的簡單模型，即可以獨享100枚金幣。想到這里，1號海盜就會為了保命而選擇把100枚金幣全部給2號海盜，以避免喪命。
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接著，再把這個模型復雜一點兒，如果有三名海盜。那么這時的1號海盜已經知道之前的情況了。如果他被丟到海里喂鯊魚了，那么2號海盜就會代替他進行分配，就意味著如果2號海盜不同意他的分配方法就一定會為了保命而什么都得不到。這時候，1號海盜就是留給自己99枚金幣，給2號海盜1枚金幣。這樣一來2號海盜一想，有總比沒有好啊。3號海盜什么都沒得的肯定不會同意。不過沒有關系，算上1號海盜自己的一票和2號海盜的一票，已經二比一了。滿足分配的條件。所以如果有三名海盜的話，1號海盜得99枚金幣，2號海盜得1枚金幣，3號海盜什么都得不到。
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然后，我們再將模型復雜一點點，如果有四名海盜。這時候1號海盜已經熟知了之前的情況。當他的給出的方案不能得到三票贊同的話，就意味著2號海盜繼承他的位置，2號海盜得99枚金幣，3號海盜得1枚金幣，4號海盜什么都得不到。除了自己的一票之外。他還需要兩票贊同。顯然的如果給2號海盜少于99枚金幣的話，2號海盜肯定會反對。但是如果只有自己一票和2號海盜的一票，3號海盜和4號海盜還是會反對。這樣就不能滿足超過半數贊同的條件了。那么這時候，1號海盜只能選擇不分給2號海盜任何金幣。去試圖征得3號海盜和4號海盜的贊同。那么只有分配給3號海盜2枚金幣，4號海盜1枚金幣。就會贏得他們的贊同。因為如果這時候3號海盜和4號海盜不贊同他的方案的話，自己的獲利必然就會受到損失。所以當有四名海盜的時候，1號海盜分配給自己97枚金幣，2號海盜不分配，3號海盜分配2枚金幣，4號海盜分配1枚金幣。
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最后，我們來考慮有五名海盜的情況。這時，1號海盜知道了如果自己的方案不能通過，就意味著2號海盜分配給自己97枚金幣，3號海盜不分配，4號海盜分配2枚金幣，5號海盜分配1枚金幣。同樣的道理，1號海盜放棄拉攏2號海盜。只要給3號海盜1枚金幣，3號海盜就會同意之前的分配方法。這時只需要從4和5中任意選一名海盜支持自己就可以獲得三票了。可以選擇的是給4號海盜3枚金幣，或者5號海盜2枚金幣。那么這時候1號海盜必然選擇給5號海盜2枚金幣。因為這樣能讓自己獲利更多。所以如果有五名海盜按照之前的規則分配金幣的話，1號海盜的最佳分配方案是自己獲得97枚金幣，2號和4號海盜不獲得金幣。3號海盜獲得1枚金幣，5號海盜獲得2枚金幣。
巫婆吃公主博弈
我們還是來建立一個比較簡單的模型，然后一點點的復雜化，就可以知道答案了。
假如有一個巫婆和公主生活在島上，那么巫婆肯定會吃掉公主。因為她知道如果她吃掉公主之后，也沒有人能威脅她了。所以按照題目中所述的所有巫婆都想要變成公主。那么她一定會吃掉公主來滿足愿望的。
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那么如果有兩個巫婆和公主生活在島上公主會不會安全呢？答案是肯定的。因為如果誰先吃了公主的話，就會變成一個公主和一個巫婆的情況，那么先吃掉公主的巫婆就會被另一個巫婆吃掉。為了保命，兩個巫婆都不敢去吃公主，所以公主會是安全的。
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接下來再把模型復雜一點。如果有三個巫婆的話，這三個巫婆中肯定有一個巫婆會先吃掉公主。因為這樣就變回了之前的情況，剩下兩個巫婆誰也不敢吃她。因為先吃她的人肯定會被另一個人吃掉。
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然后再把模型復雜一點點，當有四個巫婆的時候。如果有誰先吃了公主，馬上就會變成三個巫婆的情況，那么誰也不敢先吃公主。所以公主是安全的。
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根據這樣的規律我們發現，當島上有奇數個巫婆的時候，先下手為強的巫婆就會吃掉公主。當島上的巫婆是偶數個的時候，所有巫婆都不敢先吃公主，以避免變為奇數個巫婆的情況之后自己被吃掉。我們就得出了這樣的結論：當島上的巫婆是偶數個的時候公主能安全的生活在島上。題目中所說的島上有20個巫婆。20顯然是個偶數，所以公主能安全的生活在島上。
