拉格朗日插值方法

提出問題，對于某一個未知函數(shù)的一組觀測或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，尋找一個多項(xiàng)式函數(shù)，使這個多項(xiàng)式函數(shù)能夠過這些點(diǎn)

拉格朗日插值法

對于函數(shù)y=f(x), 在n+1個相異點(diǎn) x_{1}, x_{2} ... x_{n} 上的函數(shù)值為 y_{1}, y_{2}, ...y_{n} 要求一個次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式
使得， p_n(x) = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{n}x^n
在結(jié)點(diǎn) x_{i}上有
p_n(x_i)=y_i(i=0,1,2,3,...,n)
這時候稱p_n(x)為插值多項(xiàng)式

顯然 f(x) 的 n+1個系數(shù)滿足

條件

記方程的系數(shù)矩陣為A


系數(shù)矩陣

顯然是一個范德蒙行列式，且只需要x_0, x_1, ..., x_n互不相同，則方程組必有解。

還需要考慮一個截斷誤差


截斷誤差

拉格朗日插值多項(xiàng)式
首先構(gòu)造一個基函數(shù)


基函數(shù)

且這個函數(shù)滿足條件


特點(diǎn)

于是拉格朗日插值方法就得到了。


拉格朗日插值法

當(dāng)f(x) 在 [a, b]上充分光滑時
利用roller定理推導(dǎo)出，對于任意的x屬于[a, b]
插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)

余項(xiàng)

如題：


例題

由拉格朗日插值法


結(jié)果
最后編輯于 ：
?著作權(quán)歸作者所有,轉(zhuǎn)載或內(nèi)容合作請聯(lián)系作者
平臺聲明：文章內(nèi)容（如有圖片或視頻亦包括在內(nèi)）由作者上傳并發(fā)布，文章內(nèi)容僅代表作者本人觀點(diǎn)，簡書系信息發(fā)布平臺，僅提供信息存儲服務(wù)。

推薦閱讀更多精彩內(nèi)容