提出問題,對于某一個未知函數(shù)的一組觀測或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),尋找一個多項(xiàng)式函數(shù),使這個多項(xiàng)式函數(shù)能夠過這些點(diǎn)
拉格朗日插值法
對于函數(shù)y=f(x), 在n+1個相異點(diǎn) 上的函數(shù)值為
要求一個次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式
使得,
在結(jié)點(diǎn) 上有
這時候稱為插值多項(xiàng)式
顯然 的 n+1個系數(shù)滿足
條件
記方程的系數(shù)矩陣為A
系數(shù)矩陣
顯然是一個范德蒙行列式,且只需要互不相同,則方程組必有解。
還需要考慮一個截斷誤差
截斷誤差
拉格朗日插值多項(xiàng)式
首先構(gòu)造一個基函數(shù)
基函數(shù)
且這個函數(shù)滿足條件
特點(diǎn)
于是拉格朗日插值方法就得到了。
拉格朗日插值法
當(dāng)
利用roller定理推導(dǎo)出,對于任意的x屬于[a, b]
插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)
余項(xiàng)
如題:
例題
由拉格朗日插值法
結(jié)果