拉格朗日插值方法

提出問題,對于某一個未知函數(shù)的一組觀測或者實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),尋找一個多項(xiàng)式函數(shù),使這個多項(xiàng)式函數(shù)能夠過這些點(diǎn)

拉格朗日插值法

對于函數(shù)y=f(x), 在n+1個相異點(diǎn) x_{1}, x_{2} ... x_{n} 上的函數(shù)值為 y_{1}, y_{2}, ...y_{n} 要求一個次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式
使得, p_n(x) = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^2+...+a_{n}x^n
在結(jié)點(diǎn) x_{i}上有
p_n(x_i)=y_i(i=0,1,2,3,...,n)
這時候稱p_n(x)為插值多項(xiàng)式

顯然 f(x)n+1個系數(shù)滿足

條件

記方程的系數(shù)矩陣為A


系數(shù)矩陣

顯然是一個范德蒙行列式,且只需要x_0, x_1, ..., x_n互不相同,則方程組必有解。

還需要考慮一個截斷誤差


截斷誤差

拉格朗日插值多項(xiàng)式
首先構(gòu)造一個基函數(shù)


基函數(shù)

且這個函數(shù)滿足條件


特點(diǎn)

于是拉格朗日插值方法就得到了。


拉格朗日插值法

當(dāng)f(x) 在 [a, b]上充分光滑時
利用roller定理推導(dǎo)出,對于任意的x屬于[a, b]
插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)

余項(xiàng)

如題:


例題

由拉格朗日插值法


結(jié)果
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