矩陣知識備忘錄

線性代數總結

線性代數知識學的時候不以為然，甚至覺得無非就是在一個框框里算算術而已沒意思?，F在慢慢領悟線性代數，尤其是矩陣的性質實在是太！重！要！了！本文專門對基本常用概念做記錄，并且隨著遇到新矩陣問題不斷更新。

行列式總結:

  • 行列式一定是正方形的；
  • 對換行列式的兩行，行列式結果要變號；
  • 代數余子式：在n階行列式中，把(i,j)元a_{ij}所在的第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做a_{ij}的"余子式"，記做M_{ij}(就是原行列式簡單的劃掉一行和一列后剩下的東西)。元a_{ij}的"代數余子式"記為A_{ij}。代數余子式和余子式之間的關系為：

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

矩陣總結

（1）基本內容：

  • 矩陣很多特殊操作，尤其是牽扯到相應行列式時，這個矩陣都是正方形的；
  • 矩陣A的伴隨矩陣：矩陣A的各個元素位置由元素對應的代數余子式代替，并做一次轉置后得到：

A^{*} = \left( \begin{matrix} A_{11} & \color{red}{A_{21}} & \cdots & A_{n1} \\ \color{red}{A_{12}} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{matrix} \right)

  • 矩陣可逆判斷(充要條件1)：|A|≠0；可逆矩陣 = 非奇異矩陣；逆矩陣求法：

A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^{*}

  • 克拉默法則：n個方程n個未知數的正方形方程組，如果正方形系數矩陣A的行列式值不為0，即|A|≠0，則該方程組有唯一解！

  • 解線性方程組矩陣的3種初等變換：1. 對換兩行；2. 某行元素整體乘個系數k；3. 把做完2步的那一行加到另一行去。初等變換不改變方程的解??！即始終同解。與行列式變換不同??！

  • 矩陣可逆判斷(充要條件2)：矩陣A經過有限次初等變換后，可以變成單位矩陣E；

（2）矩陣與線性方程組：

  • 對應線性方程組：Ax = b，右端矩陣b不為0是"非齊次線性方程組"，為0就是"齊次線性方程組"。系數矩陣A可以是正方形也可以是長方形。

  • 矩陣A(任意形狀)的子式：在mxn矩陣A中，任取k行k列(k≤m, k≤n)，位于這些行列交叉處的k^2個元素，不改變它們在A中所處的相對位置而得到k階行列式，稱為矩陣A的k階(主)子式。注意：子式是一個行列式，也就是說它是一個具體的數值；

  • 矩陣(主)子式與順序主子式：主子式/子式就是上面說的，取的行和列是沒有規律、隨便取的；順序主子式：必須是從左上角往右下角取這樣變化：

圖1：各階順序主子式

  • 矩陣A(任意形狀)的秩：矩陣A的最高階非0子式所對應的階數r，就是矩陣A的秩。秩可記做：R(A)；范圍是：0≤R(A)≤min\{m,n\}；

  • 秩的深刻意義：

    • 矩陣A(任意形狀)的初等變換、轉置不會改變矩陣的秩；
    • 矩陣A做初等變換后得到的行階梯矩陣，矩陣A的秩 = 行階梯矩陣非0行的行數！一般就是用行階梯來求秩的；

  • 秩在n元解線性方程組中的意義：不論正方形還是長方形方程組Ax=b，都可以用"秩"來判斷方程解的情況：

Ax=b → \begin{cases} 無解 & R(A) < R(A,b) \\ 唯一解 & R(A) = R(A,b) = n \\ 無窮解 & R(A) = R(A,b) < n \end{cases}

注意一點：長方形矩陣因為"方程個數"和"未知數個數"不相同，所以會導致上面3種解的情況出現。

  • 矩陣可逆判斷(充要條件3)：可逆矩陣的秩 = 階數，即為"滿秩矩陣"；

（3）特殊矩陣類：都是方陣

  • 正交矩陣(n階方陣)：如果n階方陣A滿足下面式子，則稱方陣A為正交矩陣：

A^TA = E \quad (A^{-1} = A^T)

  • 正交矩陣的2條性質：

    • 若A為正交陣，則A^{-1}和A^{T}都是正交矩陣(其實兩者相等)！并且正交矩陣的行列式為1，即|A| = ±1；
    • 兩個正交陣相乘，還是正交陣；

  • 方陣特征值：設A為n階方陣，如果數\lambda和n行非0列向量x滿足如下關系式，則稱數\lambda為矩陣A的一個"特征值(可以是復數結果)"，此時的列向量x稱為A對應特征值\lambda的"特征向量"：

Ax = \lambda x \quad \leftrightharpoons \quad \color{red}{(A-\lambda E)x = 0}

要想求解"特征值"，就是求：|A-\lambda E| = 0這個1元n次方程；

  • 方陣特征值的3條性質：

    • 所有特征值之和 = 矩陣A對角元素之和；
    • 所有特征值乘積 = 矩陣A行列式的值；
    • 若\lambda是矩陣A的特征值，則\lambda^k是A^k特征值，\frac{1}{\lambda}是A^{-1}特征值；

  • 矩陣可逆判斷(充要條件4)：n個特征值全 ≠ 0；

  • 相似矩陣(2個n階方陣)：設A、B都是n階方陣，若有可逆矩陣P，使得A和B滿足如下關系，則稱矩陣A與B相似！可逆P稱為把A變成B的"相似變換矩陣"：

P^{-1}AP = B

  • 相似矩陣的2條性質：

    • 若A與B相似，則二者特征值相同；
    • 矩陣A的n個特征值做對角元素的對角陣D，若想滿足P^{-1}AP = D，即矩陣A可以對角化(與對角陣近似)，必須滿足：矩陣A的n個特征值互不相同；

  • 實對稱矩陣性質：

    • 一定可以對角化，對角陣元素為n個互不相等的特征值；
    • A為n階方陣，則下面3個都是對稱陣：

A + A^T \quad AA^T \quad \color{red}{A^TA}

  • 正定陣：特征值全為正的對稱陣；或：各階"順序主子式"都>0的對稱陣；

  • \color{red}{正定矩陣一定是對稱陣！對稱正定陣 = 正定陣；}

  • 正定矩陣3條性質：

    • (對稱)正定陣特征值都是正數；
    • (對稱)正定陣主元都是正數；
    • \color{red}{(對稱)正定陣主對角元素都 > 0}；

（4）矩陣雜項類：

  • 對角陣、上三角陣、下三角陣，行列式值都是對角元素乘積；
  • 嚴格對角占優矩陣：每一行中對角元素的值的模 > 其余元素值的模之和！即：

|a_{ij}| > \sum_{j=1,j≠i}^{n}|a_{ij}| \quad (i = 1,2,3,\cdots,n)

  • 弱對角占優矩陣：上面公式取≥號；

  • 嚴格對角占優矩陣的4條性質：

    • 若系數矩陣A是嚴格對角占優矩陣，則關于它的線性代數方程組有解；
    • 若系數矩陣A為嚴格對角占優矩陣，則A為非奇異矩陣；
    • 若系數矩陣A為嚴格對角占優矩陣，各階順序主子式必不為0；
    • 若系數矩陣A為嚴格對角占優矩陣，雅克比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和0<ω≤1的超松弛迭代法均收斂。

  • 共軛/Hermite矩陣：如果A(i,j) = A(j,i)，則稱矩陣為"對稱矩陣"；如果A(i,j) = conj( A(j,i) )，則稱矩陣為"共軛/Hermite矩陣"?？梢钥闯鰞烧咂鋵嵅顒e不大：實數域對稱矩陣與共軛矩陣是一回事。

第1次補充：

  • 對于線性方程組Ax = b做行間和列間對換時，要保證同解：
    • 行之間對換：b要隨著一起變動，x不用動；
    • 列之間對換：x要隨之一起變動(例：A中2和3列互換, x中2和3行要一起變)，b不用動。變完后的解x，順序與原方程是不一致的，要記得調換一下！
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