Contents
- Viscous Damping
- Underdamped Motion
- Overdamped Motion
- Critically Damped Motion
0-Concepts
- undamped single-degree-of-freedom system
- viscous damping
- damping coefficient
- Characteristic equation
- critical damping coefficient
- the damping ratio
- Underdamped Motion
- Overdamped Motion
- Critically Damped Motion
- the damped natural frequency
1-Viscous Damping
如上圖所示的的系統，在一些假設之下列出了其線性微分方程。這些系統都沒有計算阻尼的影響，因此可稱它們為單自由度無阻尼系統。
如果考慮阻尼的影響呢？在這里我們只考慮粘性阻尼（Viscous Damping）影響。那么什么是Viscous Damping？讓我們來看看下面這張圖。
上圖的結構可看作是汽車減震器的圖解結構。中間容器中注滿某種油，活塞部分有小孔口。當左右兩邊有位移變化，產生相對運動時，活塞就會有左右的移動，移動時，油液通過活塞上的油孔緩慢流動，從而產生阻力。（如果沒有油液的話，活塞基本不會受到阻力。）油液產生的阻力與活塞的速度成正比關系：
其中 c 是油液粘性相關的比例常數，稱為 阻尼系數（Damping coefficient）[1]。（油液產生阻力與油液粘性有關，有沒有見過一般的食用油，你看它們是不是比自來水更粘稠，這種粘稠是因為油液的粘性比水大很多。）因為油液粘性而產生與物體速度成正比關系的阻尼力，所以稱油液的此種阻尼為粘性阻尼（Viscous Damping）。
若單自由度系統考慮阻尼影響，如下圖所示。
那么其運動方程需改為
其初始條件為：
- 初始位移 x(0) = x0
- 初始速度 x'(0) = v0
解系統運動方程（線性微分方程），令x(t)為
帶入系統運動方程可得到特征方程 (Characteristic equation)：
解方程可到：
觀察特征方程的特征根，其中的判別式（the discriminant）c^2-4km 是影響運動方程的關鍵，所以這里要分三種情況。
- c^2 - 4km = 0 (critially damped)
- c^2 - 4km < 0 (underdamped)
- c^2 - 4km > 0 (overdamped)
c^2 - 4km = 0 時，定義c_cr 為 critical damping coefficient（臨界阻尼系數）：
其中 wn為系統無阻尼時的固有頻率（rad/s），有時也用w0 來表示。
我們也可以定義 the damping ratio（阻尼比）為：
如此，式（1.28）的解表示成：
下面就是討論 阻尼系數的情況，分為三種情況。
- c < c_cr, underdamped motion
- c > c_cr, overdamped motion
- c = c_cr, critically damped motion
2-Underdamped motion
在underdamped motion （欠阻尼運動）中，系統阻尼系數 c < c_cr，阻尼比 ξ 小于1（0 < ξ < 1）. 那么
兩個特征根為：
運動微分方程解為：
其中，wd 為 the damped natural frequency（有阻尼固有頻率）。
如此，系統的速度為
可得到相位
因此幅值A和相位為
既然得到系統運動微分方程的解，那么我們一起來看看某個 underdamped system 的響應（位移），其為一個振蕩運動，到系統振動不斷衰減為0。
3-Overdamped motion
要是 阻尼比 ξ > 1 呢？ 判別式就為正，特征方程的根為
可解得，
系數a1和a2為，
某個 overdamped system 的響應曲線如圖所示
觀察曲線，可以發現 過阻尼系統的響應不是振蕩運動，系統響應不經過振蕩就不斷衰減為0（除了第2種情況，先有一段振幅到最大，最后不斷衰減，從初始條件可以看出，第2種情況下，物體正好經過平衡位置,位移為0，速度最大，所以要到幅值最大處再衰減）。
4- Critically Damped motion
現在只剩下 critically damped motion，此時 c = c_cr, ξ = 1. 特征根為
由初始條件可以得到
響應曲線如圖所示。
可以看出，系統的響應也沒有出現 underdamped motion 中出現的振蕩運動。
5-A standard form
單自由度有阻尼系統的一般方程可寫為
化為更一般的形式：
這樣一些， 是不是清晰？！
OK，以上就是系統在有阻尼情況下的自由響應。實際可沒有那么簡單，這里是一種簡化理解實際中的振動情況。
Reference
[1] Inman D J, Singh R C. Engineering vibration[M]. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2014.
Log
@安然Anifacc
2017-01-06 10:27:07 wirte 1-4
2017-01-06 11:19:37 add 5
