最短路徑問題是圖研究中的一個經(jīng)典算法問題， 旨在尋找圖（由結(jié)點和路徑組成的）中兩結(jié)點之間的最短路徑。 算法具體的形式包括：

確定起點的最短路徑問題 - 即已知起始結(jié)點，求最短路徑的問題。

確定終點的最短路徑問題 - 與確定起點的問題相反，該問題是已知終結(jié)結(jié)點，求最短路徑的問題。在無向圖中該問題與確定起點的問題完全等同，在有向圖中該問題等同于把所有路徑方向反轉(zhuǎn)的確定起點的問題。

確定起點終點的最短路徑問題 - 即已知起點和終點，求兩結(jié)點之間的最短路徑。

全局最短路徑問題 - 求圖中所有的最短路徑。

Dijkstra（迪杰斯特拉）算法
Dijkstra算法是典型的最短路徑路由算法，用于計算一個節(jié)點到其他所有節(jié)點的最短路徑。主要特點是從起始點開始，采用貪心算法的策略，每次遍歷到始點距離最近且未訪問過的頂點的鄰接節(jié)點，直到擴展到終點為止。

思路：

1. 初始化一個Final數(shù)組，全部設置為0，用于表示節(jié)點V0
   到某個頂點Vw
   ,是否已經(jīng)求得了最短路徑的標記，如果已有則標記為1；
2. 聲明一個D數(shù)組，表示節(jié)點V0 到某個頂點Vw 的路徑；
3. 聲明一個P數(shù)組，表示當前結(jié)點Vw 的前驅(qū)頂點的下標；
4. 初始化 Final、D,P數(shù)組；
5. 初始化min為無窮大，遍歷 D 數(shù)組 找到對應最小權值min的頂點，記錄對應下標k，標記Final[k] = 1,表明找到最短路徑;
6. 之后通過Vk頂點向外擴散找到有關聯(lián)邊的頂點Vw更新D數(shù)組，若!final[w] && min + G.arc[k][w] < D[w]，則取 min + G.arc[k][w] 更新D[w]，更新P[w] = k;
7. 遍歷V1到 Vw ,重復上兩條操作直到final數(shù)組全部為1,求得V0到其他頂點的最短路徑。
   代碼實現(xiàn)：

    /*
    G；網(wǎng)圖
    v0: v0開始的頂點
    p[v]:前驅(qū)頂點下標
    D[v]:表示從v0到vw的最短路徑長度和
   */
  void ShortestPath_Dijkstra(MGraph G, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D)
  {
  int v,w,k,min;
  k = 0;
  int final[MAXVEX];
  final[0] = 1;

  for(v = 0; v < G.numVertexes;v++){
      final[v] = 0;
      (*D)[v] = G.arc[0][v];
      (*P)[v] = 0;
  }
  (*D)[v0] = 0;
  final[v0] = 1;
  (*P)[v0] = -1;

  for (v = 1; v < G.numVertexes; v++)
  {
      min = INFINITYC;
      for (w = 0; w < G.numVertexes; w++)
      {
           if (final[w] != 1 && (*D)[w] < min)
           {
               //下標
               k = w;
               //最小權值 
               min = (*D)[w];
           }
      }
      final[k] = 1;
      for (w = 0; w < G.numVertexes; w++)
      {
          if (final[w] != 1 && min + G.arc[k][w] < ( *D)[w])
          {
              (*D)[w] =  min + G.arc[k][w];
              (*P)[w] =  k;
          }
      }
  }

}

Floyd算法

Floyd算法又稱為插點法，是一種利用動態(tài)規(guī)劃的思想尋找給定的加權圖中多源點之間最短路徑的算法。通過一個圖的權值矩陣求出它的每兩點間的最短路徑矩陣。
算法思路

從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。
對于每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比已知的路徑更短。如果是更新它。
1 把圖用鄰接矩陣D表示出來,定義一個矩陣P用來記錄所插入點的信息;*
2 初始化P,P[v][w]表示從Vv到Vw需要經(jīng)過的點，P[v][w]=w;
3 對于每一對頂點 v 和 w，看看是否存在一個頂點 k 使得從 v 到 k 再到 w 比已知的路徑更短。如果是更新D[v,w],各個頂點插入圖中，比較插點后的距離與原來的距離，D[v][w] = min( D[v][w], D[v][k]+D[k][w] )，如果D[v][w]的值變小，則P[v][w]=k。*
4 在D中包含有兩點之間最短道路的信息，而在P中則包含了最短通路徑的信息

代碼實現(xiàn)：

void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D) {
    int v, w, k;
    for (v = 0; v < G.numVertexes; v++) {
        for (w = 0; w < G.numVertexes; w++) {
            (*D)[v][w] = G.arc[v][w];
            (*P)[v][w] = w;
        }
    }
    
    for (k = 0; k < G.numVertexes; k++) {
        for (v = 0; v < G.numVertexes; v++) {
            for (w = 0; w < G.numVertexes; w++) {
                if ((*D)[v][w] > (*D)[v][k] + (*D)[k][w]) {
                    (*D)[v][w] = (*D)[v][k] + (*D)[k][w];
                    (*P)[v][w] = (*P)[v][k];
                }
            }
        }
    }
}