備份自：http://blog.rainy.im/2016/02/26/sgd-with-python-and-torch/
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本文以及后續關于 Torch 應用及機器學習相關的筆記文章，均基于牛津大學2015機器學習課程，課件和視頻可從官網下載。本文主要關于神經網絡模型中的隨機梯度下降法，介紹其原理及推導過程，并比較 Python 簡單實現和 Torch 的應用。對應課件為L2-Linear-prediction.ipynb。
梯度下降法（gradient descent）
為了確定神經網絡模型中參數（權值）的好壞，需要先指定一個衡量標準（訓練誤差，損失函數，目標函數），例如以均方差（Mean Square Error, MSE）公式作為損失函數：
$$J(\mathbf{\theta}) = MSE = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n(\widehat{\mathbf{Y_i}} - \mathbf{Y_i})^2$$
其中，$\widehat{y_i} = \sum_{j = 1}^d x_{ij}\theta_j$，矩陣表示法為$\widehat{\mathbf{Y}} = \mathbf{X}\theta$，為線性模型（神經網絡）擬合結果。
模型最優化實際上是最小化損失函數的過程，梯度下降法的原理是：
若函數 $F(x)$ 在點 $a$ 可微且有定義，則 $F(x)$ 在 $a$ 點沿著梯度相反方向 $-\nabla F(a)$ 下降最快。梯度下降法 - 維基百科
損失函數 $J$ 對于權重向量 $\mathbf{\theta}$ 的梯度（gradient）：
$$\nabla J(\mathbf{\theta}) = [\frac{\partial J}{\partial \theta_0}, \frac{\partial J}{\partial \theta_1}, ..., \frac{\partial J}{\partial \theta_n}]$$
則根據梯度下降法則，參數的變化應根據：
$$\Delta \theta_i = -\alpha\frac{\partial J}{\partial \theta_i}$$
其中 $\alpha$ 為學習速率（Learning Rate）。由此可得梯度下降算法如下：
- GD(training_examples, alpha)
- training_examples 是訓練集合，$\lt \vec{inputs}, output \gt$
- 初始化每個權值 $\theta_i$ 為隨機值
- 終止條件前，迭代：
- 初始化權值的變化梯度 $\Delta\theta_i = 0$
- 對每條訓練數據：
- 根據 $\vec{input}$ 計算模型輸出為 o
- 對每個權值梯度 $\Delta \theta_i$：
- $\Delta \theta_i = \Delta \theta_i + \alpha (output - o) * x_i$ ==>(A
- 對每個權值 $\theta_i$：
- $\theta_i = \theta_i + \Delta \theta_i$ ==>(B
- 終止條件前，迭代：
根據算法描述可以簡單實現（完整代碼）：
def GD(training_examples, alpha):
# init thetas
thetas = np.random.rand(NPAMATERS)
for i in range(LOOPS):
deltas = np.zeros(NPAMATERS)
for record in training_examples:
inputs = [1] + list(record[1:])
output = record[0]
o = NN(inputs, thetas)
for j in range(NPAMATERS):
# -- Step (A
deltas[j] = deltas[j] + alpha * (output - o) * inputs[j]
for j in range(NPAMATERS):
# -- Step (B
thetas[j] = thetas[j] + deltas[j]
return thetas
thetas = GD(training_examples, 0.00001)
test(thetas, training_examples)
"""
#No Target Prediction
0 40 20.55
1 44 37.96
2 46 44.42
3 48 48.66
4 52 52.89
5 58 54.89
6 60 67.83
7 68 63.13
8 74 69.59
9 80 89.00
"""
梯度下降法中計算 $\Delta \theta_i$ 時匯總了所有訓練樣本數據的誤差，在實踐過程中可能出現以下問題：
- 收斂過慢
- 可能停留在局部最小值
需要注意的是，學習速率的選擇很重要，$\alpha$ 越小相當于沿梯度下降的步子越小。很顯然，步子越小，到達最低點所需要迭代的次數就越多，或者說收斂越慢；但步子太大，又容易錯過最低點，走向發散的高地。在我寫的這一個簡單實現的測試中，取 $\alpha = 1e-3$ 時導致無法收斂，而取 $\alpha = 1e-5$ 時可收斂，但下降速度肯定更慢。
常見的改進方案是隨機梯度下降法（stochatic gradient descent procedure, SGD）,SGD 的原理是根據每個單獨的訓練樣本的誤差對權值進行更新，針對上面的算法描述，刪除 $(B$，將$(A$ 更新為：
$$\theta_i = \theta_i + \alpha (output - o) * x_i$$
代碼如下：
def SGD(training_examples, alpha):
# init thetas
thetas = np.random.rand(NPAMATERS)
for i in range(LOOPS):
for record in training_examples:
inputs = [1] + list(record[1:])
output = record[0]
o = NN(inputs, thetas)
for j in range(NPAMATERS):
thetas[j] = thetas[j] + alpha * (output - o) * inputs[j]
return thetas
thetas = SGD(training_examples, 0.001)
test(thetas, training_examples)
"""
#No Target Prediction
0 40 41.45
1 44 42.71
2 46 44.82
3 48 48.42
4 52 52.02
5 58 57.11
6 60 61.34
7 68 70.88
8 74 72.99
9 80 79.33
"""
可以看出，SGD 可以用較大的 $\alpha$ 獲得較好的優化結果。
Torch的應用
清楚了 SGD 的原理后，再來應用 Torch 框架完成上上述過程，其中神經網絡模型的框架由torch/nn提供。
require 'torch'
require 'optim'
require 'nn'
model = nn.Sequential() -- 定義容器
ninputs = 2; noutputs = 1
model:add(nn.Linear(ninputs, noutputs)) -- 向容器中添加一個組塊（層），本例中只有一個組塊。
criterion = nn.MSECriterion()
-- 獲取初始化參數
x, dl_dx = model:getParameters()
-- print(help(model.getParameters))
--[[
[flatParameters, flatGradParameters] getParameters()
返回兩組參數，flatParameters 學習參數（flattened learnable
parameters）；flatGradParameters 梯度參數（gradients of the energy
wrt）
]]--
feval = function(x_new)
-- 用于SGD求值函數
-- 輸入：設定權值
-- 輸出：損失函數在該訓練樣本點上的損失 loss_x，
-- 損失函數在該訓練樣本點上的梯度值 dl_dx
if x ~= x_new then
x:copy(x_new)
end
-- 每次調用 feval 都選擇新的訓練樣本
_nidx_ = (_nidx_ or 0) + 1
if _nidx_ > (#data)[1] then _nidx_ = 1 end
local sample = data[_nidx_]
local target = sample[{ {1} }]
local inputs = sample[{ {2, 3} }]
dl_dx:zero() -- 每次訓練新樣本時都重置dl_dx為0
local loss_x = criterion:forward(model:forward(inputs), target))
-- print(help(model.forward))
--[[
[output] forward(input)
接收 input 作為參數，返回經該模型計算得到的 output，調用 forward() 方法后，模型的 output 狀態更新。
]]--
-- print(help(criterion.forward))
--[[
[output] forward(input, target)
給定 input 和（要擬合的）目標 target，根據損失函數公式求出損失值。
狀態變量 self.output 會更新。
--]]
model:backward(inputs, criterion:backward(model.output, target))
-- print(help(criterion.backward))
--[[
[gradInput] backward(input, target)
給定 input 和（要擬合的）目標 target，根據損失函數公式求出梯度值。
狀態變量 self.gradInput 會更新。
--]]
-- @ https://github.com/torch/nn/blob/948ac6a26cc6c2812e04718911bca9a4b641020e/doc/module.md#nn.Module.backward
--[[
[gradInput] backward(input, gradOutput)
調用下面兩個函數：
1. updateGradInput(input, gradOutput)
2. accGradParameters(input, gradOutput, scale)
--]]
return loss_x, dl_dx
end
-- 設置 SGD 算法所需參數
sgd_params = {
learningRate = 1e-3,
learningRateDecay = 1e-4,
weightDecay = 0,
momentum = 0
}
for i = 1, 1e4 do
for i = 1, (#data)[1] do
-- optim.sgd@https://github.com/torch/optim/blob/master/sgd.lua
_, fs = optim.sgd(feval, x, sgd_params)
end
end
-- Test
test = {40.32, 42.92, 45.33, 48.85, 52.37, 57, 61.82, 69.78, 72.19, 79.42}
print('id\tapprox\ttext')
for i = 1, (#data)[1] do
local myPrediction = model:forward(data[i][{{2,3}}])
print(string.format("%2d\t%.2f\t%.2f", i, myPrediction[1], test[i]))
end
--[[
id approx text
1 40.10 40.32
2 42.77 42.92
3 45.22 45.33
4 48.78 48.85
5 52.34 52.37
6 57.02 57.00
7 61.92 61.82
8 69.95 69.78
9 72.40 72.19
10 79.74 79.42
--]]
Torch 的 Neural Network Package
關于 Torch 的 Neural Network Package 在 GitHub 上有更詳細的文檔介紹，這里暫時不作深入學習，根據后續課程進度再做補充。
