樹的定義

樹是n（n>=0）個(gè)元素的的有限集合。在任何一顆非空樹中：

• 有且僅有一個(gè)節(jié)點(diǎn)被稱為根節(jié)點(diǎn)，在整棵樹最上面
• 當(dāng) n>1時(shí)，除根節(jié)點(diǎn)以外的其他節(jié)點(diǎn)可被分為 m(m>0)個(gè)互不相交的有限集合T1...Tn，其中每個(gè)集合本身又是一顆樹，并且稱為根的子數(shù)。

樹的相關(guān)術(shù)語(yǔ)

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• 節(jié)點(diǎn)：樹中的數(shù)據(jù)元素稱為節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都保存了該節(jié)點(diǎn)的信息，即數(shù)據(jù)元素和數(shù)據(jù)項(xiàng)與數(shù)據(jù)元素之間的關(guān)系
• 節(jié)點(diǎn)的度：節(jié)點(diǎn)擁有子樹的個(gè)數(shù)

二叉樹

樹型結(jié)構(gòu)中有一種特殊的樹叫做二叉樹，二叉樹的結(jié)構(gòu)也比較簡(jiǎn)單，規(guī)律性較強(qiáng)，并且可以證明，即使一般的樹也能轉(zhuǎn)化成二叉樹。而且許多實(shí)際問題抽象出來(lái)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)往往就是二叉樹的形式。

二叉樹的定義

二叉樹是個(gè)有限元素的集合，該集合為空或者由一個(gè)根和兩個(gè)互不相交的左子樹和右子樹組成。在二叉樹中，一個(gè)元素也稱為一個(gè)節(jié)點(diǎn)。

二叉樹基本特征

• 每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多只有兩棵子樹，即不存在度大于 2 的節(jié)點(diǎn)
• 左子樹和右子樹次序不能顛倒，即二叉樹是有序樹，而且哪怕只有
  一顆子樹，也要區(qū)分是左子樹還是右子樹。

二叉樹的 5 種基本形態(tài)

• 空集
• 根有兩顆子樹
• 根只有一顆子樹（左子樹或右子樹）
• 根沒有子樹

二叉樹的性質(zhì)

• 在二叉樹的第 i 層上至多有 **2^(i-1) **個(gè)結(jié)點(diǎn) (i>0)

• 一棵深度為 k 的二叉樹中，最多有 2^k-1 個(gè)結(jié)點(diǎn)

• 具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度 k 為 [log2n]+1

• 對(duì)于一棵非空的二叉樹，如果葉子結(jié)點(diǎn)數(shù)為 n0，度為 2 的結(jié)點(diǎn)數(shù)為 n2，
  則 n0 = n2+1

• 對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的完全二叉樹，如果按照從上至下和從左至右的順序?qū)Χ鏄渲兴薪Y(jié)點(diǎn)進(jìn)行從1的編號(hào)，則對(duì)于任意的序號(hào)為i結(jié)點(diǎn)，有:

  如果 i>1，則序號(hào)為 i 的結(jié)點(diǎn)的雙親結(jié)點(diǎn)為 i/2，如果 i==1，則序號(hào)為 i 的結(jié)點(diǎn)是根節(jié)點(diǎn)，無(wú)雙親結(jié)點(diǎn)
  如果 2i<=n，則序號(hào)為i的結(jié)點(diǎn)的左孩子節(jié)點(diǎn)的序號(hào)為 2i，否則i結(jié)點(diǎn)無(wú)左孩子
  如果 2i+1<=n，則序號(hào)為i的結(jié)點(diǎn)的右孩子節(jié)點(diǎn)的序號(hào)為 2i，否則i結(jié)點(diǎn)無(wú)右孩子

  注意：性質(zhì) 1,2,4 所有二叉樹都通用，性質(zhì) 3,5 只有完全二叉樹適用

二叉樹的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

• 順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)
• 鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)

順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

一組連續(xù)的存儲(chǔ)單元依次從上至下，從左至右存儲(chǔ)二叉樹上的節(jié)點(diǎn)元素。對(duì)于完全二叉樹來(lái)說(shuō)，樹中結(jié)點(diǎn)的序號(hào)都是按照從上至下，從左至右進(jìn)行編排的，所以結(jié)點(diǎn)的序號(hào)可以唯一的反映節(jié)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系（性質(zhì)5）

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存儲(chǔ)在數(shù)組中，數(shù)組下標(biāo)從零開始

如果是一般的二叉樹的話，如果我在對(duì)他進(jìn)行從上至下，從左至右進(jìn)行編號(hào)時(shí)就不能很好的反映數(shù)組元素之間的關(guān)系了，如果我們進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑?，通過添加一些結(jié)點(diǎn)，把他補(bǔ)成一顆完全二叉樹，那么再進(jìn)行編號(hào)，就可以進(jìn)行順序存儲(chǔ)了

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此可以看出，這樣的存儲(chǔ)方式，會(huì)造成很多空間的浪費(fèi)，而且如果要進(jìn)行對(duì)樹上元素進(jìn)行刪除、插入操作需要移動(dòng)大量的數(shù)據(jù)元素，因此二叉樹不宜采用順序存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

二叉樹的鏈?zhǔn)酱鎯?chǔ)結(jié)構(gòu)

用類似于鏈表的存儲(chǔ)方法來(lái)存儲(chǔ)樹上元素的邏輯關(guān)系，即用指針來(lái)表示元素之間的邏輯關(guān)系

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data 是數(shù)據(jù)域，leftChild 和 rightChild 是指針域，leftChild 是指向左兒子的指針，rightChild 是指向右兒子的指針，當(dāng)左兒子或右兒子為空時(shí)，相應(yīng)的指針域也為空

代碼描述

//存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)類型
typedef char DataType
typedef struct node
{
    DataType data;              //數(shù)據(jù)域
    struct node* leftChild;     //左兒子
    struct node* rightChild;    //右兒子
}BinNode;
typedef BinNode* BinTree;

這是二叉鏈表的定義，除此之外還有三叉鏈表，三叉鏈表比起二叉鏈表多了一個(gè)指向雙親結(jié)點(diǎn)的指針域，如圖所示

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代碼描述

//存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)類型
typedef char DataType
typedef struct node
{
    DataType data;              //數(shù)據(jù)域
    struct node* leftChild;     //左兒子
    struct node* rightChild;    //右兒子
    struct node* parent;        //雙親
}BinNode;
typedef BinNode* BinTree;

在二叉樹中有兩種特殊的二叉樹 >>> 滿二叉樹和完全二叉樹

滿二叉樹

在一棵樹中所有的分支節(jié)點(diǎn)都存在左子樹和右子樹，并且所有的葉子節(jié)點(diǎn)都在同一層上，這樣的二叉樹稱為滿二叉樹。

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完全二叉樹

一棵深度為 k 且具有 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)的二叉樹，對(duì)樹中節(jié)點(diǎn)按從上至下，從左至右的順序進(jìn)行編號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)節(jié)點(diǎn)都與深度為 k 的滿二叉樹中編號(hào)從 1 至 n 的節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)
時(shí)，才稱這棵二叉樹為完全二叉樹。顯然滿二叉樹也是完全二叉樹的一種。
完全二叉樹的特點(diǎn)：

• 葉子節(jié)點(diǎn)只可能在層次最大的兩層上出現(xiàn)
• 對(duì)任一節(jié)點(diǎn)，其右分支下的兒子的最大層次為 h，則其左分支下的兒子最大層次為 h 或 h+1