查找是在大量的信息中尋找一個特定的信息元素，在計算機應用中，查找是常用的基本運算，例如編譯程序中符號表的查找。本文簡單概括性的介紹了常見的七種查找算法，說是七種，其實二分查找、插值查找以及斐波那契查找都可以歸為一類——插值查找。插值查找和斐波那契查找是在二分查找的基礎上的優化查找算法。樹表查找和哈希查找會在后續的博文中進行詳細介紹。

查找定義：根據給定的某個值，在查找表中確定一個其關鍵字等于給定值的數據元素（或記錄）。

查找算法分類：
　　1）靜態查找和動態查找；
　　　　注：靜態或者動態都是針對查找表而言的。動態表指查找表中有刪除和插入操作的表。
　　2）無序查找和有序查找。
　　　　無序查找：被查找數列有序無序均可；
　　　　有序查找：被查找數列必須為有序數列。

平均查找長度（Average Search Length，ASL）：需和指定key進行比較的關鍵字的個數的期望值，稱為查找算法在查找成功時的平均查找長度。

對于含有n個數據元素的查找表，查找成功的平均查找長度為：ASL = Pi*Ci的和。
　　Pi：查找表中第i個數據元素的概率。
　　Ci：找到第i個數據元素時已經比較過的次數。

1. 順序查找

說明：順序查找適合于存儲結構為順序存儲或鏈接存儲的線性表。

基本思想：順序查找也稱為線形查找，屬于無序查找算法。從數據結構線形表的一端開始，順序掃描，依次將掃描到的結點關鍵字與給定值k相比較，若相等則表示查找成功；若掃描結束仍沒有找到關鍵字等于k的結點，表示查找失敗。

復雜度分析：　
　　查找成功時的平均查找長度為：（假設每個數據元素的概率相等） ASL = 1/n(1+2+3+…+n) = (n+1)/2 ;
　　當查找不成功時，需要n+1次比較，時間復雜度為O(n);
　　所以，順序查找的時間復雜度為O(n)。

int Sequential_Search(int *a,int n,int key){
   for (int i = 1; i <= n ; i++)
       if (a[i] == key)
           return i;
  
   return 0;
}

2. 二分查找

說明：元素必須是有序的，如果是無序的則要先進行排序操作。

基本思想：也稱為是折半查找，屬于有序查找算法。用給定值k先與中間結點的關鍵字比較，中間結點把線形表分成兩個子表，若相等則查找成功；若不相等，再根據k與該中間結點關鍵字的比較結果確定下一步查找哪個子表，這樣遞歸進行，直到查找到或查找結束發現表中沒有這樣的結點。

復雜度分析：最壞情況下，關鍵詞比較次數為log2(n+1)，且期望時間復雜度為O(log2n)；

注：折半查找的前提條件是需要有序表順序存儲，對于靜態查找表，一次排序后不再變化，折半查找能得到不錯的效率。但對于需要頻繁執行插入或刪除操作的數據集來說，維護有序的排序會帶來不小的工作量，那就不建議使用?！洞笤挃祿Y構》

int Binary_Search(int *a,int n,int key){
   
   int low,high,mid;
   low = 1;
   high = n;
   while (low <= high) {
       
       mid = (low + high) /2;

       if (key < a[mid]) {
           high = mid-1;
       }else if(key > a[mid]){
           low = mid+1;
       }else
           return mid;
   }
   
   return 0;
}

3. 插值查找

在介紹插值查找之前，首先考慮一個新問題，為什么上述算法一定要是折半，而不是折四分之一或者折更多呢？

打個比方，在英文字典里面查“apple”，你下意識翻開字典是翻前面的書頁還是后面的書頁呢？如果再讓你查“zoo”，你又怎么查？很顯然，這里你絕對不會是從中間開始查起，而是有一定目的的往前或往后翻。
同樣的，比如要在取值范圍1 ~ 10000 之間 100 個元素從小到大均勻分布的數組中查找5， 我們自然會考慮從數組下標較小的開始查找。
　　經過以上分析，折半查找這種查找方式，不是自適應的（也就是說是傻瓜式的）。二分查找中查找點計算如下：
　　mid=(low+high)/2, 即mid=low+1/2(high-low);
　　通過類比，我們可以將查找的點改進為如下：
　　mid=low+(key-a[low])/(a[high]-a[low])(high-low)，
　　也就是將上述的比例參數1/2改進為自適應的，根據關鍵字在整個有序表中所處的位置，讓mid值的變化更靠近關鍵字key，這樣也就間接地減少了比較次數。

基本思想：基于二分查找算法，將查找點的選擇改進為自適應選擇，可以提高查找效率。當然，差值查找也屬于有序查找。

注：對于表長較大，而關鍵字分布又比較均勻的查找表來說，插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。反之，數組中如果分布非常不均勻，那么插值查找未必是很合適的選擇。

復雜度分析：查找成功或者失敗的時間復雜度均為O(log2(log2n))。

int Interpolation_Search(int *a,int n,int key){
   int low,high,mid;
   low = 1;
   high = n;
   
   while (low <= high) {
       
       mid = low+ (high-low)*(key-a[low])/(a[high]-a[low]);
   
       if (key < a[mid]) {
           high = mid-1;
       }else if(key > a[mid]){
           low = mid+1;
       }else
           return mid;
   }
   
   return 0;
}

4. 斐波那契查找

在介紹斐波那契查找算法之前，我們先介紹一下很它緊密相連并且大家都熟知的一個概念——黃金分割。

黃金比例又稱黃金分割，是指事物各部分間一定的數學比例關系，即將整體一分為二，較大部分與較小部分之比等于整體與較大部分之比，其比值約為1:0.618或1.618:1。

0.618被公認為最具有審美意義的比例數字，這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用。因此被稱為黃金分割。

大家記不記得斐波那契數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89…….（從第三個數開始，后邊每一個數都是前兩個數的和）。然后我們會發現，隨著斐波那契數列的遞增，前后兩個數的比值會越來越接近0.618，利用這個特性，我們就可以將黃金比例運用到查找技術中。

基本思想：也是二分查找的一種提升算法，通過運用黃金比例的概念在數列中選擇查找點進行查找，提高查找效率。同樣地，斐波那契查找也屬于一種有序查找算法。
　　相對于折半查找，一般將待比較的key值與第mid=（low+high）/2位置的元素比較，比較結果分三種情況：
1）相等，mid位置的元素即為所求
2）大于，low=mid+1;
3）小于，high=mid-1。

斐波那契查找與折半查找很相似，他是根據斐波那契序列的特點對有序表進行分割的。他要求開始表中記錄的個數為某個斐波那契數小1，及n=F(k)-1;

開始將k值與第F(k-1)位置的記錄進行比較(及mid=low+F(k-1)-1),比較結果也分為三種
1）相等，mid位置的元素即為所求
2）大于，low=mid+1,k-=2;

說明：low=mid+1說明待查找的元素在[mid+1,high]范圍內，k-=2 說明范圍[mid+1,high]內的元素個數為n-(F(k-1))= Fk-1-F(k-1)=Fk-F(k-1)-1=F(k-2)-1個，所以可以遞歸的應用斐波那契查找。

3）<，high=mid-1,k-=1。

說明：low=mid+1說明待查找的元素在[low,mid-1]范圍內，k-=1 說明范圍[low,mid-1]內的元素個數為F(k-1)-1個，所以可以遞歸 的應用斐波那契查找。

復雜度分析：最壞情況下，時間復雜度為O(log2n)，且其期望復雜度也為O(log2n)。

int Fibonacci_Search(int *a,int n,int key){
 
   int low,high,mid,i,k;
   low = 1;
   high = n;
   k = 0;
   
   while (n > F[k]-1) {
       k++;
   }
   
   for(i = n;i < F[k]-1;i++)
       a[i] = a[n];
   
   while (low <= high) {
       
       mid = low+F[k-1]-1;
       
       if (key < a[mid]) {
           high = mid-1;
           k = k-1;
       }else if(key > a[mid]){
           low = mid+1;
           k = k-2;
           
       }else{
           if (mid <= n) {
               return mid;
           }else
           {
               return n;
           }
       }
   }
   return 0;
}

5. 最簡單的樹表查找算法——二叉樹查找算法

基本思想：二叉查找樹是先對待查找的數據進行生成樹，確保樹的左分支的值小于右分支的值，然后在就行和每個節點的父節點比較大小，查找最適合的范圍。 這個算法的查找效率很高，但是如果使用這種查找方法要首先創建樹。

二叉查找樹（BinarySearch Tree，也叫二叉搜索樹，或稱二叉排序樹Binary Sort Tree）或者是一棵空樹，或者是具有下列性質的二叉樹：
1）若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小于它的根結點的值；
2）若任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大于它的根結點的值；
3）任意節點的左、右子樹也分別為二叉查找樹。

二叉查找樹性質：對二叉查找樹進行中序遍歷，即可得到有序的數列。

復雜度分析：它和二分查找一樣，插入和查找的時間復雜度均為O(logn)，但是在最壞的情況下仍然會有O(n)的時間復雜度。原因在于插入和刪除元素的時候，樹沒有保持平衡（比如，我們查找上圖（b）中的“93”，我們需要進行n次查找操作）。我們追求的是在最壞的情況下仍然有較好的時間復雜度，這就是平衡查找樹設計的初衷。

基于二叉查找樹進行優化，進而可以得到其他的樹表查找算法，如平衡樹、紅黑樹等高效算法。

二叉排序樹的查找、插入、刪除等操作

//二叉樹的二叉鏈表結點結構定義
//結點結構
typedef  struct BiTNode
{
   //結點數據
   int data;
   //左右孩子指針
   struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTree;

//1.二叉排序樹--查找
/*
遞歸查找二叉排序樹T中,是否存在key;
指針f指向T的雙親,器初始值為NULL;
若查找成功,則指針p指向該數據元素的結點,并且返回TRUE;
若指針p指向查找路徑上訪問的最后一個結點則返回FALSE;
*/
Status SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f, BiTree *p){
  
   if (!T)    /*  查找不成功 */
   {
       *p = f;
       return FALSE;
   }
   else if (key==T->data) /*  查找成功 */
   {
       *p = T;
       return TRUE;
   }
   else if (key<T->data)
       return SearchBST(T->lchild, key, T, p);  /*  在左子樹中繼續查找 */
   else
       return SearchBST(T->rchild, key, T, p);  /*  在右子樹中繼續查找 */
}

//2.二叉排序樹-插入
/*  當二叉排序樹T中不存在關鍵字等于key的數據元素時， */
/*  插入key并返回TRUE，否則返回FALSE */
Status InsertBST(BiTree *T, int key) {
   
   BiTree p,s;
   //1.查找插入的值是否存在二叉樹中;查找失敗則->
   if (!SearchBST(*T, key, NULL, &p)) {
       
       //2.初始化結點s,并將key賦值給s,將s的左右孩子結點暫時設置為NULL
       s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
       s->data = key;
       s->lchild = s->rchild = NULL;
       
       //3.
       if (!p) {
           //如果p為空,則將s作為二叉樹新的根結點;
           *T = s;
       }else if(key < p->data){
           //如果key<p->data,則將s插入為左孩子;
           p->lchild = s;
       }else
           //如果key>p->data,則將s插入為右孩子;
           p->rchild = s;
       
       return  TRUE;
   }
   
   return FALSE;
}

//3.從二叉排序樹中刪除結點p,并重接它的左或者右子樹;
Status Delete(BiTree *p){
   
   BiTree temp,s;
   
   
   if((*p)->rchild == NULL){
      
       //情況1: 如果當前刪除的結點,右子樹為空.那么則只需要重新連接它的左子樹;
       //①將結點p臨時存儲到temp中;
       temp = *p;
       //②將p指向到p的左子樹上;
       *p = (*p)->lchild;
       //③釋放需要刪除的temp結點;
       free(temp);
       
   }else if((*p)->lchild == NULL){
       
       //情況2:如果當前刪除的結點,左子樹為空.那么則只需要重新連接它的右子樹;
       //①將結點p存儲到temp中;
       temp = *p;
       //②將p指向到p的右子樹上;
       *p = (*p)->rchild;
       //③釋放需要刪除的temp結點
       free(temp);
   }else{
       
       //情況③:刪除的當前結點的左右子樹均不為空;
      
       //①將結點p存儲到臨時變量temp, 并且讓結點s指向p的左子樹
       temp = *p;
       s = (*p)->lchild;
     
       //②將s指針,向右到盡頭(目的是找到待刪結點的前驅)
       //-在待刪除的結點的左子樹中,從右邊找到直接前驅
       //-使用`temp`保存好直接前驅的雙親結點
       while (s->rchild) {
           temp = s;
           s = s->rchild;
       }
       
       //③將要刪除的結點p數據賦值成s->data;
       (*p)->data = s->data;
       
       //④重連子樹
       //-如果temp 不等于p,則將S->lchild 賦值給temp->rchild
       //-如果temp 等于p,則將S->lchild 賦值給temp->lchild
       if(temp != *p)
           temp->rchild = s->lchild;
       else
           temp->lchild = s->lchild;
       
       //⑤刪除s指向的結點; free(s)
       free(s);
   }
   
   return  TRUE;
}

//4.查找結點,并將其在二叉排序中刪除;
/* 若二叉排序樹T中存在關鍵字等于key的數據元素時，則刪除該數據元素結點, */
/* 并返回TRUE；否則返回FALSE。 */
Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
{
   //不存在關鍵字等于key的數據元素
   if(!*T)
       return FALSE;
   else
   {
       //找到關鍵字等于key的數據元素
       if (key==(*T)->data)
           return Delete(T);
       else if (key<(*T)->data)
           //關鍵字key小于當前結點,則縮小查找范圍到它的左子樹;
           return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
       else
           //關鍵字key大于當前結點,則縮小查找范圍到它的右子樹;
           return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);
       
   }
}