本文采用Java語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行描述，幫大家好好梳理一下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法，在工作和面試中用的上。亦即總結(jié)常見(jiàn)的的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，以及在Java中相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)方法，務(wù)求理論與實(shí)踐一步總結(jié)到位。

常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

數(shù)組

數(shù)組是相同數(shù)據(jù)類型的元素按一定順序排列的集合，是一塊連續(xù)的內(nèi)存空間。數(shù)組的優(yōu)點(diǎn)是：get和set操作時(shí)間上都是O(1)的；缺點(diǎn)是：add和remove操作時(shí)間上都是O(N)的。

Java中，Array就是數(shù)組，此外，?ArrayList使用了數(shù)組Array?作為其實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ),它和一般的Array相比，最大的好處是，我們?cè)谔砑釉貢r(shí)不必考慮越界，元素超出數(shù)組容量時(shí)，它會(huì)自動(dòng)擴(kuò)張保證容量。

Vector和ArrayList相比，主要差別就在于多了一個(gè)線程安全性，但是效率比較低下。如今java.util.concurrent包提供了許多線程安全的集合類（比如 LinkedBlockingQueue），所以不必再使用Vector了。

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鏈表

鏈表是一種非連續(xù)、非順序的結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)元素的邏輯順序是通過(guò)鏈表中的指針鏈接次序?qū)崿F(xiàn)的，鏈表由一系列結(jié)點(diǎn)組成。鏈表的優(yōu)點(diǎn)是：add和remove操作時(shí)間上都是O(1)的；缺點(diǎn)是：get和set操作時(shí)間上都是O(N)的，而且需要額外的空間存儲(chǔ)指向其他數(shù)據(jù)地址的項(xiàng)。

查找操作對(duì)于未排序的數(shù)組和鏈表時(shí)間上都是O(N)。

Java中，LinkedList 使用鏈表作為其基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)。

//以上方法也適用于ArrayList

隊(duì)列

隊(duì)列是一種特殊的線性表，特殊之處在于它只允許在表的前端進(jìn)行刪除操作，而在表的后端進(jìn)行插入操作，亦即所謂的先進(jìn)先出（FIFO）。

Java中，LinkedList實(shí)現(xiàn)了Deque，可以做為雙向隊(duì)列（自然也可以用作單向隊(duì)列）。另外PriorityQueue實(shí)現(xiàn)了帶優(yōu)先級(jí)的隊(duì)列，亦即隊(duì)列的每一個(gè)元素都有優(yōu)先級(jí)，且元素按照優(yōu)先級(jí)排序。

棧

棧（stack）又名堆棧，它是一種運(yùn)算受限的線性表。其限制是僅允許在表的一端進(jìn)行插入和刪除運(yùn)算。這一端被稱為棧頂，相對(duì)地，把另一端稱為棧底。它體現(xiàn)了后進(jìn)先出（LIFO）的特點(diǎn)。

Java中，Stack實(shí)現(xiàn)了這種特性，但是Stack也繼承了Vector，所以具有線程安全線和效率低下兩個(gè)特性，最新的JDK8中，推薦用Deque來(lái)實(shí)現(xiàn)棧，比如：

集合

集合是指具有某種特定性質(zhì)的具體的或抽象的對(duì)象匯總成的集體，這些對(duì)象稱為該集合的元素，其主要特性是元素不可重復(fù)。

在Java中，HashSet體現(xiàn)了這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，而HashSet是在MashMap的基礎(chǔ)上構(gòu)建的。LinkedHashSet繼承了HashSet，使用HashCode確定在集合中的位置，使用鏈表的方式確定位置，所以有順序。TreeSet實(shí)現(xiàn)了SortedSet 接口，是排好序的集合（在TreeMap 基礎(chǔ)之上構(gòu)建），因此查找操作比普通的Hashset要快（log(N)）；插入操作要慢（log（N））,因?yàn)橐S護(hù)有序。

散列表

散列表也叫哈希表，是根據(jù)關(guān)鍵鍵值(Keyvalue)進(jìn)行訪問(wèn)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它通過(guò)把關(guān)鍵碼值映射到表中一個(gè)位置來(lái)訪問(wèn)記錄，以加快查找的速度，這個(gè)映射函數(shù)叫做散列函數(shù)。

Java中HashMap實(shí)現(xiàn)了散列表，而Hashtable比它多了一個(gè)線程安全性，但是由于使用了全局鎖導(dǎo)致其性能較低，所以現(xiàn)在一般用?ConcurrentHashMap來(lái)實(shí)現(xiàn)?線程安全的HashMap（類似的，以上的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在最新的java.util.concurrent的包中幾乎都有對(duì)應(yīng)的高性能的線程安全的類）。TreeMap實(shí)現(xiàn)SortMap接口，能夠把它保存的記錄按照鍵排序。LinkedHashMap保留了元素插入的順序。WeakHashMap是一種改進(jìn)的HashMap，它對(duì)key實(shí)行“弱引用”，如果一個(gè)key不再被外部所引用，那么該key可以被GC回收，而不需要我們手動(dòng)刪除。

樹

樹（tree）是包含n（n>0）個(gè)節(jié)點(diǎn)的有窮集合，其中：

每個(gè)元素稱為節(jié)點(diǎn)（node）

有一個(gè)特定的節(jié)點(diǎn)被稱為根節(jié)點(diǎn)或樹根（root）

除根節(jié)點(diǎn)之外的其余數(shù)據(jù)元素被分為m（m≥0）個(gè)互不相交的結(jié)合T1，T2，……Tm-1，其中每一個(gè)集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵樹，被稱作原樹的子樹（subtree）

樹這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)在計(jì)算機(jī)世界中有廣泛的應(yīng)用，比如操作系統(tǒng)中用到了紅黑樹，數(shù)據(jù)庫(kù)用到了B+樹，編譯器中的語(yǔ)法樹，內(nèi)存管理用到了堆（本質(zhì)上也是樹），信息論中的哈夫曼編碼等等等等，在Java中TreeSet和TreeMap用到了樹來(lái)排序（二分查找提高檢索速度），不過(guò)一般都需要程序員自己去定義一個(gè)樹的類，并實(shí)現(xiàn)相關(guān)性質(zhì)，而沒(méi)有現(xiàn)成的API。

下面用Java來(lái)實(shí)現(xiàn)各種常見(jiàn)的樹。

二叉樹

二叉樹是一種基礎(chǔ)而且重要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，其每個(gè)結(jié)點(diǎn)至多只有二棵子樹，二叉樹有左右子樹之分，第i層至多有2^(i-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)（i從1開(kāi)始）；深度為k的二叉樹至多有2^(k)-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)，對(duì)任何一棵二叉樹，如果其終端結(jié)點(diǎn)數(shù)為n0，度為2的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n2，則n0=n2+1。

二叉樹的性質(zhì)：

在非空二叉樹中，第i層的結(jié)點(diǎn)總數(shù)不超過(guò)2^(i-1), i>=1;

深度為h的二叉樹最多有2^h-1個(gè)結(jié)點(diǎn)(h>=1)，最少有h個(gè)結(jié)點(diǎn);

對(duì)于任意一棵二叉樹，如果其葉結(jié)點(diǎn)數(shù)為N0，而度數(shù)為2的結(jié)點(diǎn)總數(shù)為N2，則N0=N2+1;

具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹的深度為log2(n+1);

有N個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全二叉樹各結(jié)點(diǎn)如果用順序方式存儲(chǔ)，則結(jié)點(diǎn)之間有如下關(guān)系： 若I為結(jié)點(diǎn)編號(hào)則 如果I>1，則其父結(jié)點(diǎn)的編號(hào)為I/2； 如果2I<=N，則其左兒子（即左子樹的根結(jié)點(diǎn)）的編號(hào)為2I；若2I>N，則無(wú)左兒子； 如果2I+1<=N，則其右兒子的結(jié)點(diǎn)編號(hào)為2I+1；若2I+1>N，則無(wú)右兒子。

給定N個(gè)節(jié)點(diǎn)，能構(gòu)成h(N)種不同的二叉樹，其中h(N)為卡特蘭數(shù)的第N項(xiàng)，h(n)=C(2*n, n)/(n+1)。

設(shè)有i個(gè)枝點(diǎn)，I為所有枝點(diǎn)的道路長(zhǎng)度總和，J為葉的道路長(zhǎng)度總和J=I+2i。

滿二叉樹、完全二叉樹

滿二叉樹：除最后一層無(wú)任何子節(jié)點(diǎn)外，每一層上的所有結(jié)點(diǎn)都有兩個(gè)子結(jié)點(diǎn)；

完全二叉樹：若設(shè)二叉樹的深度為h，除第 h 層外，其它各層 (1～(h-1)層) 的結(jié)點(diǎn)數(shù)都達(dá)到最大個(gè)數(shù)，第h層所有的結(jié)點(diǎn)都連續(xù)集中在最左邊，這就是完全二叉樹；

滿二叉樹是完全二叉樹的一個(gè)特例。

二叉查找樹

二叉查找樹，又稱為是二叉排序樹（Binary Sort Tree）或二叉搜索樹。二叉排序樹或者是一棵空樹，或者是具有下列性質(zhì)的二叉樹：

若左子樹不空，則左子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均小于它的根結(jié)點(diǎn)的值；

若右子樹不空，則右子樹上所有結(jié)點(diǎn)的值均大于或等于它的根結(jié)點(diǎn)的值；

左、右子樹也分別為二叉排序樹；

沒(méi)有鍵值相等的節(jié)點(diǎn)。

二叉查找樹的性質(zhì)：對(duì)二叉查找樹進(jìn)行中序遍歷，即可得到有序的數(shù)列。

二叉查找樹的時(shí)間復(fù)雜度：它和二分查找一樣，插入和查找的時(shí)間復(fù)雜度均為O(logn)，但是在最壞的情況下仍然會(huì)有O(n)的時(shí)間復(fù)雜度。原因在于插入和刪除元素的時(shí)候，樹沒(méi)有保持平衡。我們追求的是在最壞的情況下仍然有較好的時(shí)間復(fù)雜度，這就是平衡二叉樹設(shè)計(jì)的初衷。

二叉查找樹可以這樣表示：

查找：

插入：

刪除：

平衡二叉樹

平衡二叉樹又被稱為AVL樹，具有以下性質(zhì)：它是一棵空樹或它的左右兩個(gè)子樹的高度差的絕對(duì)值不超過(guò)1，并且左右兩個(gè)子樹都是一棵平衡二叉樹。它的出現(xiàn)就是解決二叉查找樹不平衡導(dǎo)致查找效率退化為線性的問(wèn)題，因?yàn)樵趧h除和插入之時(shí)會(huì)維護(hù)樹的平衡，使得查找時(shí)間保持在O(logn)，比二叉查找樹更穩(wěn)定。

ALLTree 的 Node 由 BST 的 Node 加上 private int height; 節(jié)點(diǎn)高度屬性即可，這是為了便于判斷樹是否平衡。

維護(hù)樹的平衡關(guān)鍵就在于旋轉(zhuǎn)。對(duì)于一個(gè)平衡的節(jié)點(diǎn)，由于任意節(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)兒子，因此高度不平衡時(shí)，此節(jié)點(diǎn)的兩顆子樹的高度差2，容易看出，這種不平衡出現(xiàn)在下面四種情況：

6節(jié)點(diǎn)的左子樹3節(jié)點(diǎn)高度比右子樹7節(jié)點(diǎn)大2，左子樹3節(jié)點(diǎn)的左子樹1節(jié)點(diǎn)高度大于右子樹4節(jié)點(diǎn)，這種情況成為左左。

6節(jié)點(diǎn)的左子樹2節(jié)點(diǎn)高度比右子樹7節(jié)點(diǎn)大2，左子樹2節(jié)點(diǎn)的左子樹1節(jié)點(diǎn)高度小于右子樹4節(jié)點(diǎn)，這種情況成為左右。

2節(jié)點(diǎn)的左子樹1節(jié)點(diǎn)高度比右子樹5節(jié)點(diǎn)小2，右子樹5節(jié)點(diǎn)的左子樹3節(jié)點(diǎn)高度大于右子樹6節(jié)點(diǎn)，這種情況成為右左。

2節(jié)點(diǎn)的左子樹1節(jié)點(diǎn)高度比右子樹4節(jié)點(diǎn)小2，右子樹4節(jié)點(diǎn)的左子樹3節(jié)點(diǎn)高度小于右子樹6節(jié)點(diǎn)，這種情況成為右右。

從圖2中可以可以看出，1和4兩種情況是對(duì)稱的，這兩種情況的旋轉(zhuǎn)算法是一致的，只需要經(jīng)過(guò)一次旋轉(zhuǎn)就可以達(dá)到目標(biāo)，我們稱之為單旋轉(zhuǎn)。2和3兩種情況也是對(duì)稱的，這兩種情況的旋轉(zhuǎn)算法也是一致的，需要進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn)，我們稱之為雙旋轉(zhuǎn)。

單旋轉(zhuǎn)是針對(duì)于左左和右右這兩種情況，這兩種情況是對(duì)稱的，只要解決了左左這種情況，右右就很好辦了。圖3是左左情況的解決方案，節(jié)點(diǎn)k2不滿足平衡特性，因?yàn)樗淖笞訕鋕1比右子樹Z深2層，而且k1子樹中，更深的一層的是k1的左子樹X子樹，所以屬于左左情況。

為使樹恢復(fù)平衡，我們把k1變成這棵樹的根節(jié)點(diǎn)，因?yàn)閗2大于k1，把k2置于k1的右子樹上，而原本在k1右子樹的Y大于k1，小于k2，就把Y置于k2的左子樹上，這樣既滿足了二叉查找樹的性質(zhì)，又滿足了平衡二叉樹的性質(zhì)。

這樣的操作只需要一部分指針改變，結(jié)果我們得到另外一顆二叉查找樹，它是一棵AVL樹，因?yàn)閄向上一移動(dòng)了一層，Y還停留在原來(lái)的層面上，Z向下移動(dòng)了一層。整棵樹的新高度和之前沒(méi)有在左子樹上插入的高度相同，插入操作使得X高度長(zhǎng)高了。因此，由于這顆子樹高度沒(méi)有變化，所以通往根節(jié)點(diǎn)的路徑就不需要繼續(xù)旋轉(zhuǎn)了。

代碼：

雙旋轉(zhuǎn)是針對(duì)于左右和右左這兩種情況，單旋轉(zhuǎn)不能使它達(dá)到一個(gè)平衡狀態(tài)，要經(jīng)過(guò)兩次旋轉(zhuǎn)。同樣的，這樣兩種情況也是對(duì)稱的，只要解決了左右這種情況，右左就很好辦了。圖4是左右情況的解決方案，節(jié)點(diǎn)k3不滿足平衡特性，因?yàn)樗淖笞訕鋕1比右子樹Z深2層，而且k1子樹中，更深的一層的是k1的右子樹k2子樹，所以屬于左右情況。

為使樹恢復(fù)平衡，我們需要進(jìn)行兩步，第一步，把k1作為根，進(jìn)行一次右右旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)之后就變成了左左情況，所以第二步再進(jìn)行一次左左旋轉(zhuǎn)，最后得到了一棵以k2為根的平衡二叉樹樹。

代碼：

AVL查找操作與BST相同，AVL的刪除與插入操作在BST基礎(chǔ)之上需要檢查是否平衡，如果不平衡就要使用旋轉(zhuǎn)操作來(lái)維持平衡:

堆

堆是一顆完全二叉樹，在這棵樹中，所有父節(jié)點(diǎn)都滿足大于等于其子節(jié)點(diǎn)的堆叫大根堆，所有父節(jié)點(diǎn)都滿足小于等于其子節(jié)點(diǎn)的堆叫小根堆。堆雖然是一顆樹，但是通常存放在一個(gè)數(shù)組中，父節(jié)點(diǎn)和孩子節(jié)點(diǎn)的父子關(guān)系通過(guò)數(shù)組下標(biāo)來(lái)確定。如下面的小根堆及存儲(chǔ)它的數(shù)組：

值：7,8,9,12,13,11

數(shù)組索引：0,1,2,3, 4, 5

通過(guò)一個(gè)節(jié)點(diǎn)在數(shù)組中的索引怎么計(jì)算出它的父節(jié)點(diǎn)及左右孩子節(jié)點(diǎn)的索引：

維護(hù)大根堆的性質(zhì)：

構(gòu)造堆：

堆的用途：堆排序，優(yōu)先級(jí)隊(duì)列。此外由于調(diào)整代價(jià)較小，也適合實(shí)時(shí)類型的排序與變更。

最后

寫著寫著就發(fā)現(xiàn)要想總結(jié)到位是一項(xiàng)非常龐大的工程，路漫漫其修遠(yuǎn)兮，吾將上下而求索。