點云粗配準

點云精細配準受到初始值的影響，會收斂到局部最小值，因此點云的粗配準就變得相當重要。對于剛體來說，假設目前有原始點云\boldsymbol p_i^s(i = 1,\cdots,n)和目標點云\boldsymbol p_i^t(i = 1,\cdots,m)，點云粗配準完成的工作主要就是求解兩團剛體之間的\boldsymbol R和\boldsymbol t，使得原始點云\boldsymbol p_i^s通過變換得到新的點云\boldsymbol p_i^{s_{new}} = \boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \boldsymbol t和目標點云\boldsymbol p_i^t之間最接近，即兩者之間最近鄰距離小于\varepsilon的點云數目最大化，該準則被稱為LCP（Largest Common Points）

假設現在找到了k個點云對\boldsymbol p_i^t和\boldsymbol p_i^s,i = 1,\cdots,n，那么點云配準就是在求解最優的\boldsymbol R^*,\boldsymbol t^*使得滿足如下的式子
\boldsymbol R^*,\boldsymbol t^* = \arg\min_{\boldsymbol R,\boldsymbol t}\frac{1}{k} \sum_{i =1}^{k}w_i||\boldsymbol R \boldsymbol p_i^s + \boldsymbol t - \boldsymbol p_i^t||^2

求解上述問題的常用步驟如下

  1. 從目標點云和源點云中找到點對\boldsymbol p_i^t,\boldsymbol p_i^s
  2. 根據權重，計算等效中心\overline{\boldsymbol p^t} = \frac{\sum_{i = 1}^k w_i \boldsymbol p_i^t}{\sum_{i = 1}^k w_i}, \overline{\boldsymbol p^s} = \frac{\sum_{i = 1}^k w_i \boldsymbol p_i^s}{\sum_{i = 1}^kw_i}
  3. 將每個點去中心化\hat{\boldsymbol p_i^s} = \boldsymbol p_i^s - \overline{\boldsymbol p^s},\hat{\boldsymbol p_i^t} = \boldsymbol p_i^t - \overline{\boldsymbol p^t}
  4. 對協方差矩陣進行SVD分解\Sigma = \boldsymbol U \boldsymbol \Lambda \boldsymbol V^T，其中協方差矩陣\Sigma為
    \Sigma = \begin{bmatrix} \hat{\boldsymbol p_1^s} & \hat{\boldsymbol p_2^s} & \cdots & \hat{\boldsymbol p_k^s} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & w_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & w_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\boldsymbol p_1^t}^T \\ \vdots \\ \hat{\boldsymbol p_k^t}^T \end{bmatrix}
  5. 求解得到旋轉矩陣\boldsymbol R^* = \boldsymbol V \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & |\boldsymbol V \boldsymbol U^T| \end{bmatrix}\boldsymbol U^T
  6. 求解得到平移向量\boldsymbol t^* = \overline{\boldsymbol p^t} - \boldsymbol R^* \overline{\boldsymbol p^s}

注意到在每個點集中選取3組點就可以進行上述的計算，然后根據LCP準則得到最優的\boldsymbol R^*和\boldsymbol t^*，因此使用窮舉法的復雜度是O(n^3m^3k)，如果點云數量在10^4量級，該復雜度在工程上是不可接受的。為了降低復雜度，后面涌現了一大批算法，其本質思想就是在選擇點對的時候根據某些條件去掉明顯不可理的點對，這些算法的區別就在于如何設計這些條件。

因此有人提出了RANSAC算法，從源點云中隨機提取3個點，然后窮舉目標點云中所有3點對計算旋轉矩陣，然后根據旋轉矩陣計算距離小于\varepsilon，重復此步驟L次，根據LCP準則從這L次中選取最優的\boldsymbol R^*和\boldsymbol t^*，該方法的復雜度是O(Lm^3k)，通過調節L在精度和速度之間取得平衡。

4PCS算法在源點云中選取四個點，如果是剛體變換的話，目標點云中對應的四個點同樣需要滿足一定的條件，這四個點需要滿足一定的條件，通過該條件來篩選原始點對，減少計算量。

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