將原本是線性時間提升到了對數時間
log(N)范圍，大大縮短了搜索時間
前提，必須在
有序數據中進行查找。
1. 最基本的二分查找
leetcode參考[35]：Search Insert Position
劍指offer：數字在排序數組中出現的次數
def binarySearch(A, target):
low,high = 0,len(A)-1
while low <= high:
mid = low + (high - low) // 2
if A[mid] == target:
return mid
elif A[mid] > target:
high = mid - 1
else:
low = mid + 1
return -1
其中，有幾個要注意的點：
- 循環的判定條件是：
low <= high - 為了防止數值溢出，
mid = low + (high - low)/2 - 當
A[mid]不等于target時，high = mid - 1或low = mid + 1
2. 查找目標值區域的邊界
Leetcode參考[34]: Find First and Last Position of Element in Sorted Array
劍指offer：數字在排序數組中出現的次數
2.1 查找目標值區域的左邊界/查找與目標值相等的第一個位置/查找第一個不小于目標值數的位置
A = [1,3,3,5, 7 ,7,7,7,8,14,14]
target = 7
return 4
def binarySearchLowerBound(A, target):
low,high = 0,len(A)-1
while low <= high:
mid = low + (high - low) // 2
if target <= A[mid]:
high = mid - 1
else:
low = mid + 1
if low < A.length and A[low] == target:
return low
else
return -1
2.2 查找目標值區域的右邊界/查找與目標值相等的最后一個位置/查找最后一個不大于目標值數的位置
A = [1,3,3,5,7,7,7, 7 ,8,14,14]
target = 7
return 7
def binarySearchUpperBound(A, target):
low,high = 0,len(A)-1
while low <= high:
mid = low + (high - low) // 2
if target >= A[mid]:
low = mid + 1
else:
high = mid - 1
if high >-1 and A[low] == target:
return high
else:
return -1
此題以可變形為查找第一個大于目標值的數/查找比目標值大但是最接近目標值的數，我們已經找到了最后一個不大于目標值的數，那么再往后進一位，返回high + 1，就是第一個大于目標值的數。
2.3 查找最后一個小于目標值的數/查找比目標值小但是最接近目標值的數
此題以可由第 2 題變形而來，我們已經找到了目標值區域的下（左）邊界，那么再往左退一位，即low - 1，就是最后一個小于目標值的數。其實low - 1也是退出循環后high的值，因為此時 high剛好等于low - 1，它小于low，所以 while 循環結束。我們只要判斷high是否超出邊界即可。
A = [1,3,3, 5 ,7,7,7,7,8,14,14]
target = 7
return 3
def binarySearchLowerBound2(A, target):
low,high = 0,len(A)-1
while low <= high:
mid = low + (high - low) // 2
if target > A[mid]:
low = mid + 1
else:
high = mid - 1
if high >-1:
return high
else:
return -1
2.4 查找第一個大于目標值的數/查找比目標值大但是最接近目標值的數
此題以可由第 3 題變形而來，我們已經找到了目標值區域的上（右）邊界，那么再往右進一位，即high + 1，就是第一個大于目標值的數。其實high + 1也是退出循環后low的值，因為此時 low剛好等于high + 1，它大于high，所以 while 循環結束。我們只要判斷low是否超出邊界即可。
A = [1,3,3,5,7,7,7,7, 8 ,14,14]
target = 7
return 8
def binarySearchUpperBound2(A, target):
low,high = 0,len(A)-1
while low <= high:
mid = low + (high - low) // 2
if target >= A[mid]:
low = mid + 1
else:
high = mid - 1
if high < len(A):
return high
else：
return -1
3. 在旋轉數組中查找最小元素
3.1 查找旋轉數組的最小元素（假設不存在重復數字）
LeetCode[153]: Find Minimum in Rotated Sorted Array
Input: [3,4,5,1,2]
Output: 1
def findMin(nums):
if len(nums) == 0
return -1
left,right = 0,len(nums) - 1
while left < right:
mid = left + (right - left) // 2
if nums[mid] > nums[right]:
left = mid + 1
else:
right = mid
return nums[left]
注意這里和之前的二分查找的幾點區別：
- 循環判定條件為
left < right，沒有等于號 - 循環中，通過比較nums[left]與num[mid]的值來判斷mid所在的位置:
- 如果
nums[mid] > nums[right]，說明前半部分是有序的，最小值在后半部分，令left = mid + 1； - 如果
nums[mid] <= num[right]，說明最小值在前半部分，令right = mid。
最后，left會指向最小值元素所在的位置。
3.2 查找旋轉數組的最小元素（存在重復項）
LeetCode[154]: Find Minimum in Rotated Sorted Array II
劍指offer：旋轉數組的最小數字
Input: [2,2,2,0,1]
Output: 0
def findMin(nums):
if len(nums) == 0
return -1
left,right = 0,len(nums) - 1
while left < right:
mid = left + (right - left) // 2
if nums[mid] > nums[right]:
left = mid + 1
elif nums[mid] < nums[right]:
right = mid
else:
right-=1
return nums[left]
和之前不存在重復項的差別是：當nums[mid] == nums[right]時，我們不能確定最小值在 mid的左邊還是右邊，所以我們就讓右邊界減一。
4. 在旋轉排序數組中搜索
4.1 在旋轉排序數組中搜索并返回目標元素的下標（不考慮重復項）
LeetCode[33]: Search in Rotated Sorted Array
法一：
- 先利用方法 3.1 查找數組中的最小元素，即確定分界點的位置
- 把旋轉的數組當成偏移，用
(offset + mid) % len來求真實的 mid 的位置。 - 然后用二分查找來定位目標值
def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
lo,hi=0,len(nums)-1
while lo<hi:
mid=(lo+hi)//2
if nums[mid]>nums[hi]:
lo=mid+1
else:
hi=mid
offset =lo #lo==hi is the index of the smallest value
lo,hi=0,len(nums)-1
while lo<=hi:
mid=lo+(high-lo)//2
realmid=(mid+offset)%len(nums)
if nums[realmid]==target:
return realmid
if nums[realmid]<target:
lo=mid+1
else:
hi=mid-1
return -1
法二：其實沒有必要找到旋轉數組的分界點，對于搜索左側還是右側我們是可以根據mid跟high的元素大小來判定出來的，直接根據target的值做二分搜索就可以了。
def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
if len(nums) == 0:
return -1
left,right=0,len(nums)-1
while left<=right:
mid=left+(right-left)//2
if nums[mid] == target:
return mid
elif nums[left] <= nums[mid]:
if target < nums[mid] and target >= nums[left]:
right = mid - 1
else:
left = mid + 1
elif nums[mid] <= nums[right]:
if target > nums[mid] and target <= nums[right]:
left = mid + 1
else:
right = mid - 1
return -1
4.2 在旋轉排序數組中搜索并返回目標元素的下標（考慮重復項）
LeetCode: Search in Rotated Sorted Array II
def search(self, nums: List[int], target: int) -> int:
if len(nums) == 0:
return -1
left,right=0,len(nums)-1
while left<=right:
mid=left+(right-left)//2
if nums[mid] == target:
return mid
elif nums[mid] > nums[right]:
if target < nums[mid] and target >= nums[left]:
right = mid
else:
left = mid + 1
elif nums[mid] < nums[right]:
if target > nums[mid] and target <= nums[right]:
left = mid + 1
else:
right = mid
else:
right-=1
return -1
5. 二維數組中的查找
劍指offer：二維數組中的查找
二維數組是有序的，從右上角來看，向左數字遞減，向下數字遞增。因此可以利用二分查找的思想，從右上角出發：
- 當要查找數字比右上角數字大時，下移；
- 當要查找數字比右上角數字小時，左移；
【參考】
作者：繁著
鏈接：http://www.lxweimin.com/p/0f823fbd4d20
