問題

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

輸入

• nums1 = [1, 3]
  nums2 = [2]

• nums1 = [1, 2]
  nums2 = [3, 4]

輸出

• The median is 2.0

• The median is (2 + 3)/2 = 2.5

分析

要注意題目中的數組已經排序好了。排序數組，復雜度又要求是O(log(m+n))，很容易聯想到二分搜索。

舉個例子，有兩個排序數組，分別為：
A：1 3 5
B：2 4 6 8
顯然，中位數應該是兩個數組所有元素從小到大排序后的第4個數。
首先，我們比較兩個數組的第4/2=2個數，A的第2個數為3，B的第2個數為4，A[2] < B[2]（為了方便起見，索引從1開始）。我們可以確定中位數不會在A[1]-A[2]范圍中，這樣就把搜索范圍縮小了4/2個。

擴展到一般情況，每次比較A[k/2]和B[k/2]之后，都可以把A或者B的搜素范圍縮小一半，即不斷地二分，計算復雜度為O(log(m+n))。

要點

二分搜索 遞歸

時間復雜度

O(log(m+n))

空間復雜度

O(log(m+n))，遞歸需要棧空間

代碼

class Solution {
public:
    int findKthNum(const vector<int> &a, int begA, const vector<int> &b, int begB, int k)
    {
        if (a.size() - begA > b.size() - begB) // 始終保持a的長度小于b，避免以后不必要的分情況討論
            return findKthNum(b, begB, a, begA, k);
        if (a.size() - begA == 0) // 如果a的搜索空間為空，直接返回b的第k個數
            return b[begB + k - 1];
        if (k == 1) // 如果k為1，直接返回a和b的搜索空間的第一個值的最小值
            return min(a[begA], b[begB]);
    
        int pa = min(k / 2, (int)(a.size()) - begA); // 避免pa大于a的搜索空間的大小
        int pb = k - pa;
        
        if (a[begA + pa - 1] == b[begB + pb - 1]) // 如果相等，說明已經找到了中位數
            return a[begA + pa - 1];
        else if (a[begA + pa - 1] < b[begB + pb - 1]) 
            return findKthNum(a, begA + pa, b, begB, k - pa); // 二分a
        else 
            return findKthNum(a, begA, b, begB + pb, k - pb); // 二分b
    }
    
    double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        int n = nums1.size() + nums2.size();

        // 對n的奇偶性分情況討論
        if (n & 0x1)
        {
            return findKthNum(nums1, 0, nums2, 0, n / 2 + 1);
        }
        else
        {
            return (findKthNum(nums1, 0, nums2, 0, n / 2) + findKthNum(nums1, 0, nums2, 0, n / 2 + 1)) / 2.0;
        }
    }
};