Ezio Malis, Manuel Vargas. Deeper understanding of the homography decomposition for vision-
based control. [Research Report] RR-6303, INRIA. 2007, pp.90.
Introduction
1. 提出Homography decomposition的解析解法，給出了解的解析表達，并描述了兩個可能解之間的關系。
2. 基于Homography decomposition，提出position-based visual servoing的控制方案。在該方案中，end-effector漸進收斂到目標位置，并在收斂過程中找到可能解中的正確解。
Analytical method of homography decomposition
為了分解H，可以考慮如下對稱矩陣S：
它也可以寫成：
于是不妨拆分一下S：
得到x，y之后，經過一些 很多變換，就得到了R，t以及n的解析表達式啦，具體表達論文里給出了summary。瞅一眼，大概是這個畫風：【逃。。。
從表達式中的+/-可以發現解并不惟一。事實上，我們得到了8組可能解。但現實的結界使得一些解是不存在的。【平面π一定在照相機前方】，這為我們消除了4組解。【觀察到平面π同一些點的兩個照相機一定是在平面同一側的】（visibility constraint），又消除了2組解。
Homography Decomposition也有很多看起來友好一點的數值方法，但解析表達式的優勢之一在于，由它就可以推出可能解之間的互推公式，大概長這樣：
Position-based visual servoing based on analytical decomposition
利用analytical decomposition就可以做很多事情啦。
Position-based visual servoing 大概是指一個裝有視覺傳感器(camera)的機器人，它定位的方法是將看到的像素點轉換成三維坐標。
要解決的問題是：
? ? ? ? -首先，相機到達一個reference position，并記錄該位置拍下的照片。
? ? ? ? -現在裝有相機的servo在另一個地方。已知信息有「servo在目前位置獲取的照片」和「在reference position記錄的照片」。
? ? ? ? -目標是在不利用額外信息(a?priori)的條件下將servo移動到reference position（即相機獲取的圖像與存儲的reference處圖像一致）。
系統所能直接控制的(input)是robot的速度。新一時刻的位置可由「上一時刻的位置」和「robot的速度」計算得到。（130）
由目前位置的圖像和reference位置的圖像，利用最小二乘估計，可得矩陣H。
利用解析分解(未應用visibility constraint)得到四個解：
用visibility constraint得到兩個可能解，不妨假設是Rtna，Rtnb（包含從reference位置到相機此時位置的旋轉平移信息以及圖像平面的normal）。
Mean-based Control Law
接下來，定義一個error function (e)。（根據e調整input）
想法是：
? ? ????1.式中Rtna和Rtnb權重應該相同，因為不知道哪個是真實解。
????????2.當相機到reference位置時，reference和current位于同一處，所以此時Homography分解出來的R和t應該為零，e應該為零。
? ? ? ? 3.找到e后，定義一個收斂的control law，當系統按此方法控制輸入時，error function收斂到零。
由此，作者提出了Mean-based Control Law -- 取兩個可能解的均值作為error function：
并引入中間步（相機與reference位置的鏡頭角度(orientation)相同，但相差一個translation error），當error function為零時，robot到達中間狀態而非最終狀態。
注意到我們已經得到了Rtna與Rtnb之間的轉換公式，于是可以將兩個可能解的均值用Rtna表示。
control law定義為：
v為robot的速度(input)，lambda可以用來調節收斂速率。
還可以定義error function的更新公式：
其中L為：
由此，迭代形成(closed loop control)：根據current位置計算error function —>（135）得到輸入速度 —> 由速度與之前位置得到新位置?—>（136）計算新的error function?—> 決定新輸入。
作者還證明了，在這種control law下，et一定會收斂到0（注意這里并不是ta=tb=0，而是ta+tb=0），并且收斂過程中ta的模長不增。er也一定收斂到0，即Ra=Rb。//請自動腦補角標otz。。
注意到以上討論是假設visibility constraint篩選出的可能解是Rtna，Rtnb。但若可能解是在Rtna和Rtnb-的情況中，et的收斂并未被全部證明，作者只給出了在ta模長小于1時收斂性成立的證明。（但根據模擬結果，似乎不符合條件的情況（即ta模長大于1時）也是穩定的。）
在這個control law的作用下，error function為零時R=0，而translation error并未被消除。于是我們可以得到正確的相機方向(orientation)，還可得到ta和tb（滿足ta+tb = 0，并且兩者只是在在na方向上有偏差）To be more specific:
Switching Control Law
在得到這個平衡的過程中，真實解的na是始終不變的，而錯誤解中nb一開始與na“同側”（因為最初Rtnb解通過了visibility constraint）。而在收斂過程中，nb會逐漸轉動，直到它成為反向的na。這意味著自某一時刻起，nb便不再符合visibility constraint。由此可在兩個可能解中找到真實解。
所以當我們檢測到nb是錯誤解時，便可直接用Rtna作為控制輸入的e以更快速地達到穩定狀態。但如果直接從可能解均值轉變為正確值會使e產生突變(abrupt changes)，注意到（137）L的表達式中存在偏導，這樣的不光滑的變化會導致控制過程出錯。我們需要采用一種平緩的過度?—— a switching control strategy。
在定義error function的時候不直接用兩者的均值，而是用加權后的式子，即：
其中權重的選取需要在還未檢測到t-vertical之前值都為1，而在檢測到后權重分布改變迅速且光滑。指數似乎是一個好的選擇。于是由exponentially decreasing time-function定義權重就會是這樣的：
看一下效果：
在作者的參數下，通過14步迭代找到了正確解O.o
【簡書能不能插LaTeX啊哭泣。。
