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本章我們來研究三種重要的數(shù)字表示

• 無符號是基于傳統(tǒng)二進(jìn)制表示法，表示大于或等于0的數(shù)字
• 補(bǔ)碼是表示有符號整數(shù)的最常見方式，有符號整數(shù)可以是正或者為負(fù)
• 浮點(diǎn)數(shù)是表示實(shí)數(shù)的科學(xué)計數(shù)法的以2為基數(shù)的版本

計算機(jī)的表示法是用有限的數(shù)量的位表示的數(shù)字編碼，所以，結(jié)果太大的時候，某些運(yùn)算就會溢出。浮點(diǎn)運(yùn)算溢出會產(chǎn)生特殊的值+∞，但是一組正數(shù)的乘積總是正的，這點(diǎn)和整數(shù)不同。但是由于表示的精度有限，浮點(diǎn)運(yùn)算是不可結(jié)合的。

整數(shù)的表示雖然只能編碼一個相對較小的數(shù)值范圍，但是這種表示是精確的，而浮點(diǎn)數(shù)可以編碼一個較大的數(shù)值范圍，但是這種表示只是近似的。

2.1信息存儲

大多數(shù)計算機(jī)使用8位的塊，或者說字節(jié)，作為最小的可尋址的內(nèi)存單位，而不是訪問內(nèi)存中單獨(dú)的位。機(jī)器級程序?qū)?nèi)存視為一個非常大的字節(jié)數(shù)組，稱為虛擬內(nèi)存。內(nèi)存的每個字節(jié)都由一個唯一的數(shù)字標(biāo)識，稱為它的地址，所有可能地址的集合稱為虛擬地址空間。

十六進(jìn)制表示法

一個字節(jié)由8位組成，在二進(jìn)制表示法中，它的值域是00000000_{11111111，用十六進(jìn)制書寫，它的值域是0x00}0xFF。

以0x或者0X開頭的數(shù)字常量被認(rèn)為是16進(jìn)制，字符“A”~“F”既可以是大寫也可以是小寫。

字?jǐn)?shù)據(jù)大小

字長決定的最重要的系統(tǒng)參數(shù)就是虛擬地址空間的最大大小。對于一個字長為ω位的機(jī)器而言，虛擬地址的范圍就是0 ~ 2^ω - 1，程序最多訪問2^ω個字節(jié)。

大部分?jǐn)?shù)據(jù)類型都編碼為有符號數(shù)值，除非有前綴關(guān)鍵字unsigned或者對確定大小的數(shù)據(jù)類型使用了特定的無符號聲明。（數(shù)據(jù)類型char是個例外）

尋址和字節(jié)順序

多字節(jié)對象被存儲為連續(xù)的字節(jié)序列，對象的地址為所用字節(jié)最小的地址。

最低有效字節(jié)在最前面的方式，稱為小端法。
最高有效字節(jié)在最前面的方式，稱為大端法。

許多比較新的微處理器是雙端法，然而實(shí)際上，一旦選擇了特定的操作系統(tǒng)，字節(jié)順序也就被固定下來。Android和iOS都是運(yùn)行于小端模式。

表示代碼

指令編碼是不同的，不同的機(jī)器類型使用不同的且不兼容的指令和編碼方式。
從機(jī)器的角度來看，程序僅僅只是字節(jié)序列。

有關(guān)布爾代數(shù)

布爾運(yùn)算~對應(yīng)邏輯運(yùn)算NOT，對應(yīng)集合的補(bǔ)；
布爾運(yùn)算&對應(yīng)邏輯運(yùn)算AND，對應(yīng)集合的并；
布爾運(yùn)算|對應(yīng)邏輯運(yùn)算OR，對應(yīng)集合的交；
布爾運(yùn)算^對應(yīng)邏輯運(yùn)算亦或。

布爾運(yùn)算的分配率：a & (b | c) = (a & b)|(a & c),a | (b & c) = (a | b)&(a | c)
另外，對于a ^ a = 0，因此還有(a ^ b) ^ a = b

這里有一些有意思的關(guān)于位運(yùn)算的東西，簡單整理在一起，以后單開一個筆記，把一些位運(yùn)算的算法題歸類一下。

a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;

這樣可以交換a和b的值，但是這個種交換方式?jīng)]有性能上的優(yōu)勢，它僅僅是一個智力游戲（至少書上是這么說的……）

有關(guān)邏輯運(yùn)算

C語言還提供了一組邏輯運(yùn)算符||、&&、和！，分別對應(yīng)命題邏輯中的OR，AND和NOT運(yùn)算。

邏輯運(yùn)算具有短路性。即：第一個參數(shù)求值能確定表達(dá)結(jié)果，那么就不會對第二個參數(shù)求值。

有關(guān)位移運(yùn)算

C語言提供了位移運(yùn)算，向左或者向右移動位模式。

C表達(dá)式x << k會x向左移動k位，丟棄最高的k位，并在右端補(bǔ)k個0.

有一個相應(yīng)的友誼運(yùn)算x >> k。一般而言，機(jī)器支持兩種形式的右移：邏輯右移和算術(shù)右移。邏輯右移在左端補(bǔ)k個0，算數(shù)右移是在左端補(bǔ)k個最高有效位的值。

對于無符號數(shù)，右移必須是邏輯的。

Java表達(dá)式中，x >> k是算術(shù)右移，x >>> k是邏輯右移。

加減法優(yōu)先級比位移優(yōu)先級要高

    一些位運(yùn)算的常見技巧
    
    0 ^ a = a
    
    a ^ a = 0
    
    a & （a - 1）可以消除最右邊的一個1
    
    位運(yùn)算x & 0xFF生成一個由x的最低有效字節(jié)組成的值，而其他字節(jié)就被置為0。
    
    Java是用的補(bǔ)碼，0x7fffffff是最大正整數(shù)，0x80000000是最小的負(fù)數(shù)。
    和0x7fffffff按位與就是取絕對值了，然后那個按位或就是求負(fù)數(shù)。
    
    可以用if ((a & 1) == 0)代替if (a % 2 == 0)來判斷a的奇偶性。
    
    修改正負(fù)號就是按位取反再加一，也就是~x + 1
    
    檢驗(yàn)補(bǔ)碼乘法是否溢出：
    int p = x * y;
    return !x || p / x == y;
    
    

2.2整數(shù)表示

整型數(shù)據(jù)類型表示有限范圍的整數(shù)。

有一個很值得注意的特點(diǎn)是取值范圍是不對稱的，負(fù)數(shù)的范圍比正數(shù)的范圍大1.

無符號數(shù)的編碼

無符號數(shù)編碼詳見思維導(dǎo)圖。

補(bǔ)碼編碼

補(bǔ)碼編碼詳見思維導(dǎo)圖。

ω位補(bǔ)碼所能表示的值的范圍：最小是位向量[10……0]，最大的值是位向量[01……1]。

注意：-1和UMax有同樣的位表示——全1的串。數(shù)值0在兩種表示方式中都是全0的串。

有符號數(shù)和無符號數(shù)之間的轉(zhuǎn)換

C語言允許在各種不同的數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)類型之間做強(qiáng)制轉(zhuǎn)換。

強(qiáng)制類型轉(zhuǎn)換的結(jié)果保持位值不變，只是改變了解釋這些位的方式。

補(bǔ)碼轉(zhuǎn)無符號數(shù)詳見思維導(dǎo)圖。

無符號數(shù)轉(zhuǎn)為補(bǔ)碼詳見思維導(dǎo)圖。

執(zhí)行一個運(yùn)算的時候，如果它的一個運(yùn)算數(shù)是有符號的而另一個是無符號的，那么C語言會隱式的將有符號數(shù)強(qiáng)制類型轉(zhuǎn)換為無符號數(shù)，并假設(shè)兩個數(shù)都是非負(fù)的，來執(zhí)行運(yùn)算。

擴(kuò)展一個數(shù)字的位表示

要將一個無符號數(shù)轉(zhuǎn)換為一個更大的數(shù)據(jù)類型，只需要簡單的在表示的開頭添加0，這種運(yùn)算被稱為零擴(kuò)展。

要將一個補(bǔ)碼數(shù)字轉(zhuǎn)換為一個更大的數(shù)據(jù)類型，可以執(zhí)行一個符號擴(kuò)展，在表示中添加最高有效位的值。

一個有意思的地方：
當(dāng)把short轉(zhuǎn)換成unsigned時，我們要先改變大小，之后再完成從有符號到無符號的轉(zhuǎn)換。也就是說(unsigned)sx等價于(unsigned)(int)sx

截斷數(shù)字

將一個ω位的數(shù)字截斷為一個k位的數(shù)字，我們會丟棄最高的ω - k位。

補(bǔ)碼截斷也有相似的屬性，不過要將最高位轉(zhuǎn)換為符號位，也就是說，一個正數(shù)截斷了以后可能就變成了負(fù)數(shù)。

2.3整數(shù)運(yùn)算

無符號加法

詳見思維導(dǎo)圖

如果s沒有溢出，則可以肯定s ≥ x

無符號數(shù)求反詳見思維導(dǎo)圖

補(bǔ)碼加法

詳見思維導(dǎo)圖

對滿足TMinω ≤ x， y ≤ TMaxω 的x和y，另s = x + y，當(dāng)且僅當(dāng)x > 0，y > 0，但s ≤ 0時，計算s發(fā)生了正溢出。當(dāng)且僅當(dāng)x < 0，y < 0，但s ≥ 0時，計算s發(fā)生了負(fù)溢出。

補(bǔ)碼的非

詳見思維導(dǎo)圖

無符號乘法

詳見思維導(dǎo)圖

補(bǔ)碼乘法

詳見思維導(dǎo)圖

乘以常數(shù)

編譯器使用了一項(xiàng)重要優(yōu)化，試著用位移和加法運(yùn)算的組合來代替乘以常數(shù)因子的乘法。

考慮一組從位位置n到位位置m的連續(xù)的1（n≥m）我們可以用下面兩種不同形式中的一種來計算這些位對乘積的影響：

• 形式A：(x << n) + (x << n - 1) + ... + (x << m)
• 形式B：(x << (n + 1)) - (x << m)

除以2的冪

• 除以2的冪無符號除法：C變量x和k有無符號數(shù)值x和k，且0 ≤ k ＜ ω，則x>>k產(chǎn)生數(shù)值，x / 2^k
• 除以2的冪補(bǔ)碼除法，向下舍入：C變量補(bǔ)碼x和無符號k，且0 ≤ k ＜ ω，當(dāng)執(zhí)行算術(shù)位移時，x>>k產(chǎn)生數(shù)值x / 2^k
• 除以2的冪的補(bǔ)碼除法，向上舍入：C變量補(bǔ)碼x和無符號k，且0 ≤ k ＜ ω，當(dāng)執(zhí)行算術(shù)位移時，（x + (1 << k）- 1) >> k產(chǎn)生數(shù)值x / 2^k。

遺憾的是，和乘法不同，我們不能用除以2的冪的出發(fā)來表示任意常數(shù)K的除法，所以除法絕大多數(shù)情況下指令會相當(dāng)慢。

2.4浮點(diǎn)數(shù)

二進(jìn)制小數(shù)

定義見思維導(dǎo)圖

IEEE浮點(diǎn)表示

IEEE浮點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)用V = (-1)^s * M * 2^E

• s：sign，符號，決定正負(fù)。
• M：significand，尾數(shù)，通常是[1.0~2.0)范圍的小數(shù)
• E：exponent，階碼，就是次方數(shù)。

單精度浮點(diǎn)格式中，s，exp和frac字段分別為1位、k = 8位和n = 23位，得到一個32位的表示。雙精度浮點(diǎn)格式中，s、exp和frac字段分別為1位、k = 11位和n = 52位，得到一個64位的表示。

規(guī)格化的值

解碼字段被解釋為偏置形式表示的有符號整數(shù)。階碼的值是E = e - Bias，其中e是無符號數(shù)，而Bias是一個等于2^(k-1) - 1的偏置值。

小數(shù)子段frac被解釋為描述小數(shù)值f，其中0 ≤ f < 1，二進(jìn)制小數(shù)在最高有效為的左邊。尾數(shù)定義為M = 1 + f。這種方式也叫做隱含的以1開頭的表示.

非規(guī)格化的值

階碼值是E = 1 - Bias，而尾數(shù)的值是M = f，也就是小數(shù)字段的值，不包含隱含的開頭的1.

非規(guī)格化數(shù)的另外一個功能是表示那些非常接近于0.0的數(shù)。它們提供了一種屬性，稱為逐漸溢出，其中，可能的數(shù)值分布均勻的接近于0.0.

特殊值

最后一類數(shù)值是當(dāng)階碼全為1的時候出現(xiàn)的。當(dāng)小數(shù)域全為0時，得到的值表示無窮，當(dāng)s = 0時是+∞，當(dāng)s = 1時是-∞。當(dāng)我們把兩個非常大的數(shù)相乘，或者除以零時，無窮能夠表示溢出的結(jié)果。當(dāng)小數(shù)域?yàn)榉橇愕臅r候，結(jié)果值被稱為“NaN”，即“不是一個數(shù)（Not a Number）”的縮寫。一些運(yùn)算的結(jié)果不能是實(shí)數(shù)或無窮，就會返回這樣的NaN值，比如當(dāng)計算根號-1或者∞-∞時。

浮點(diǎn)數(shù)的一些Point

• 值+0.0總有一個全為0的位表示。
• 最小的正非規(guī)格化的位表示，是有最低有效位為1而其他所有位為0構(gòu)成的。它的數(shù)字值是V = 2^(-n-2(k-1)+2)。
• 最大的非規(guī)格化值的位模式是由全為0的解碼字段和全為1的小叔子段組成的。數(shù)值V = (1 - 2^(-n)) * 2^((-2)(k-1)+2)。
• 最小的正規(guī)格化值的位模式的階碼字段的最低有效位為1，其他位全為0。它的尾數(shù)值M = 1，而階碼值E = -2^(k-1) + 2。因此數(shù)值V = 2^((-2)(k-1) + 2)。
• 值1.0的位表示的階碼字段除了最高有效為等于1以外，其他位都等于0。它的尾數(shù)值是M = 1，他的階碼值是E = 0.
• 最大的規(guī)格化值的位表示的符號位為0，階碼的最低有效位等于0，其他位等于1.數(shù)值V = （1 - 2^(-n-1)） * 2²(k-1)

舍入

IEEE浮點(diǎn)格式定義了四種不同的舍入方式。默認(rèn)的方法是找到最接近的匹配，其他三種可用于計算上界和下界。

浮點(diǎn)運(yùn)算

IEEE標(biāo)準(zhǔn)定義了一些使之更合理的規(guī)則。例如，定義1 / -0將產(chǎn)生-∞,而定義1 / +0會產(chǎn)生+∞

對于所有的x和y的值，實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算是可交換的。但是運(yùn)算是不可結(jié)合的。例如（3.14 + 1e10）- 1e10

無窮（因?yàn)?∞ - ∞ = NaN）和 NaN是例外情況，因?yàn)閷τ谌魏蝬都有NaN + x = NaN。

浮點(diǎn)加法滿足了單調(diào)性屬性：如果a ≥ b，那么對任何a、b以及x的值，除了NaN，都有x + a ≥ x + b。

浮點(diǎn)乘法也遵循通常乘法所具有的許多屬性。它是可交換的，不具有可結(jié)合行。例如（1e20 * 1e20） * 1e-20位+∞，而1e20 * （1e20 * 1e-20）得出1e20。

浮點(diǎn)乘法滿足單調(diào)性：

a ≥ b 且 c ≥ 0 → a * c ≥ b * c
a ≥ b 且 c ≤ 0 → a * c ≤ b * c

我們還可以保證，只要a ≠ NaN，就有a * a ≥ 0.

C語言中的浮點(diǎn)數(shù)

所有C語言版本提供了兩種不同的浮點(diǎn)數(shù)據(jù)類型：float 和 double。

一些會產(chǎn)生錯誤的點(diǎn)：

• 從int轉(zhuǎn)成float，數(shù)字不會溢出，但是可能被舍入。
• 從int或float轉(zhuǎn)成double，因?yàn)閐ouble有更大的范圍，也有更高的精度，所以能夠保留精確的數(shù)值。
• 從double轉(zhuǎn)換成float，因?yàn)榉秶。灾悼赡芤绯龀?∞或者-∞，另外，也可能舍入。
• 從float或double轉(zhuǎn)成int，值將會向零舍入。例如1.999轉(zhuǎn)換為1，而-1.999轉(zhuǎn)為-1.進(jìn)一步來說，值可能會溢出。與Inter兼容的微處理器指定位模式[10...00]（字長為ω時的TMinω）為整數(shù)不確定值。一個從浮點(diǎn)數(shù)到整數(shù)的轉(zhuǎn)換，如果不能為該浮點(diǎn)數(shù)找到一個合理的整數(shù)近似值，就會產(chǎn)生一個這樣的值。因此，表達(dá)式（int）+le10會得到-21483648，即從一個正值變成了一個負(fù)值！！！

課后題中的一些點(diǎn)

1. 表達(dá)式~0xFF創(chuàng)建一個掩碼，該掩碼8個最低位為0，其余的為1.這個掩碼的產(chǎn)生與字長無關(guān)。相比之下，0xFFFFFF00只能工作在32位機(jī)器上。
2. x ^ y = (x & ~y) | (~x & y)
3. TMin32是-2147483648，并且將它強(qiáng)制類型轉(zhuǎn)換為無符號數(shù)后，變成了2147483648。另外，如果有任何一個運(yùn)算數(shù)是無符號的，那么在比較之前，另一個運(yùn)算數(shù)會被強(qiáng)制類型轉(zhuǎn)換為無符號數(shù)。
4. 函數(shù)的任何測試過程中，TMin 都應(yīng)該作為一種測試情況！！！
5. 對于無符號數(shù)的非，位的模式是相同的。
6. int64_t pll = (int64_t) x * y;這一句如果寫成int64_t pll = x * y;就會用32位的值來計算乘積（這時候可能就溢出了！），然而再符號擴(kuò)展到64位。
7. 表達(dá)式x>>32產(chǎn)生一個字，如果x是負(fù)數(shù)，這個字全為1，否則全為0.這個訣竅偶爾會有大用處。
8. 一個具有n位小數(shù)的浮點(diǎn)格式，不能準(zhǔn)確描述的最小正整數(shù)是：1后面跟著n個0后面再跟一個1.即2^(n+1) + 1
9. 2.44C的謎題里的需要理解的計算機(jī)運(yùn)算的屬性。

32位機(jī)器，有符號值使用算術(shù)右移，無符號值使用邏輯右移
int x,y
unsigned ux,uy

A. (x > 0）||((x - 1) < 0
False 假設(shè)x = TMin32，那么x - 1 = TMax32
B.  (x & 7) != 7 || (x << 29 < 0)
True
C.  (x * x) >= 0
False 當(dāng)x為0xFFFF時，x * x為-131071（0xFFFE0001）
D.  x < 0 || -x <= 0
True
E.  x > 0 || -x >= 0
False 設(shè)x = TMin32（好吧，又是它）那么x和-x都是負(fù)數(shù)！
F.  x + y == uy + ux
True
G.  x * ~y + uy * ux == -x
True ~y等于-y-1.uy * ux等于x * y，所以左邊等價于x * -y - x + x * y。

勘誤：43頁第一段原文中寫的是復(fù)數(shù)的范圍比整數(shù)的范圍大1，應(yīng)該是正數(shù)……