第九章 動(dòng)態(tài)規(guī)劃part08
121. 買賣股票的最佳時(shí)機(jī)
思路
- 貪心的解法：
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
// 找到一個(gè)最小的購入點(diǎn)
int low = Integer.MAX_VALUE;
// res不斷更新，直到數(shù)組循環(huán)完畢
int res = 0;
for(int i = 0; i < prices.length; i++){
low = Math.min(prices[i], low);
res = Math.max(prices[i] - low, res);
}
return res;
}
}
- 動(dòng)態(tài)規(guī)劃
確定dp數(shù)組（dp table）以及下標(biāo)的含義
dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多現(xiàn)金 ，dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多現(xiàn)金-
確定遞推公式
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由兩個(gè)狀態(tài)推出來- 第i-1天就持有股票，那么就保持現(xiàn)狀，所得現(xiàn)金就是昨天持有股票的所得現(xiàn)金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天買入股票，所得現(xiàn)金就是買入今天的股票后所得現(xiàn)金即：-prices[i]
- 那么dp[i][0]應(yīng)該選所得現(xiàn)金最大的，所以
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由兩個(gè)狀態(tài)推出來
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持現(xiàn)狀，所得現(xiàn)金就是昨天不持有股票的所得現(xiàn)金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天賣出股票，所得現(xiàn)金就是按照今天股票價(jià)格賣出后所得現(xiàn)金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
- 同樣dp[i][1]取最大的，
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
dp數(shù)組如何初始化
由遞推公式 dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]); 和 dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);可以看出其基礎(chǔ)都是要從dp[0][0]和dp[0][1]推導(dǎo)出來。
那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此時(shí)的持有股票就一定是買入股票了，因?yàn)椴豢赡苡星耙惶焱瞥鰜恚?code>dp[0][0] -= prices[0];
dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么現(xiàn)金就是0，所以dp[0][1] = 0;確定遍歷順序
從遞推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推導(dǎo)出來的，那么一定是從前向后遍歷。-
舉例推導(dǎo)dp數(shù)組
以示例1，輸入：[7,1,5,3,6,4]為例，dp數(shù)組狀態(tài)如下：
image.png
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
//版本1
int len = prices.length;
if(prices == null || len == 0) return 0;
// dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
// dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
int[][] dp = new int[len][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for(int i = 1; i < len; i++){
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], prices[i] + dp[i-1][0]);
}
return dp[len-1][1];
}
}
從遞推公式可以看出，dp[i]只是依賴于dp[i - 1]的狀態(tài)。
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
那么我們只需要記錄 當(dāng)前天的dp狀態(tài)和前一天的dp狀態(tài)就可以了，可以使用滾動(dòng)數(shù)組來節(jié)省空間
i % 2 的作用是用來在 dp 數(shù)組的兩行之間切換，使得我們能夠復(fù)用數(shù)組空間。例如：
- 當(dāng)
i為偶數(shù)時(shí)，i % 2為 0，表示使用dp數(shù)組的第 0 行來存儲(chǔ)第i天的狀態(tài)。 - 當(dāng)
i為奇數(shù)時(shí)，i % 2為 1，表示使用dp數(shù)組的第 1 行來存儲(chǔ)第i天的狀態(tài)。
這樣，我們就可以使用 dp[0] 和 dp[1] 兩行來分別存儲(chǔ)當(dāng)前和前一天的狀態(tài)，達(dá)到節(jié)省空間的目的。
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
//版本1
int len = prices.length;
if(prices == null || len == 0) return 0;
// dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
// dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
int[][] dp = new int[2][2];
dp[0][0] = -prices[0];
dp[0][1] = 0;
for(int i = 1; i < len; i++){
dp[i % 2][0] = Math.max(dp[(i-1) % 2][0], -prices[i]);
dp[i % 2][1] = Math.max(dp[(i-1) % 2][1], prices[i] + dp[(i-1) % 2][0]);
}
return dp[(len-1) % 2][1];
}
}
122.買賣股票的最佳時(shí)機(jī)II
思路
dp數(shù)組的含義：
- dp[i][0] 表示第i天持有股票所得現(xiàn)金。
- dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多現(xiàn)金
注意這里和121. 買賣股票的最佳時(shí)機(jī) (opens new window)唯一不同的地方，就是推導(dǎo)dp[i][0]的時(shí)候，第i天買入股票的情況。 - 本題，因?yàn)橐恢还善笨梢再I賣多次，所以當(dāng)?shù)趇天買入股票的時(shí)候，所持有的現(xiàn)金可能有之前買賣過的利潤。
那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天買入股票，所得現(xiàn)金就是昨天不持有股票的所得現(xiàn)金 減去 今天的股票價(jià)格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。
再來看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情況， 依然可以由兩個(gè)狀態(tài)推出來- 第i-1天就不持有股票，那么就保持現(xiàn)狀，所得現(xiàn)金就是昨天不持有股票的所得現(xiàn)金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天賣出股票，所得現(xiàn)金就是按照今天股票價(jià)格賣出后所得現(xiàn)金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int[] dp = new int[2];
// 0代表持有，1代表賣出
dp[0] = -prices[0];
dp[1] = 0;
for(int i = 1; i <= prices.length; i++){
//第i天持有; 或前一天持有（前一天持有的話，之前就是賣出的狀態(tài)，就要用dp[1]減去前一天的價(jià)格）
dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i - 1]);
//第i天賣出；或前一天賣出(前一天賣出的話，先前就是持有的狀態(tài)，再加上前一天的收益)
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1]);
}
return dp[1]; //二維數(shù)組應(yīng)該返回length-1，但是這里改了for循環(huán)里 i <= prices.length
}
}
123.買賣股票的最佳時(shí)機(jī)III
這道題一下子就難度上來了，關(guān)鍵在于至多買賣兩次，這意味著可以買賣一次，可以買賣兩次，也可以不買賣。
文章講解
思路
- 關(guān)鍵在于至多買賣兩次，這意味著可以買賣一次，可以買賣兩次，也可以不買賣。
-
確定dp數(shù)組以及下標(biāo)的含義
一天一共就有五個(gè)狀態(tài)，- 沒有操作 （其實(shí)我們也可以不設(shè)置這個(gè)狀態(tài)）
- 第一次持有股票
- 第一次不持有股票
- 第二次持有股票
- 第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j為 [0 - 4] 五個(gè)狀態(tài)，dp[i][j]表示第i天狀態(tài)j所剩最大現(xiàn)金。
需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，買入股票的狀態(tài)，并不是說一定要第i天買入股票
確定遞推公式
-
達(dá)到dp[i][1]狀態(tài)，有兩個(gè)具體操作：
- 操作一：第i天買入股票了，那么
dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i] - 操作二：第i天沒有操作，而是沿用前一天買入的狀態(tài)，即：
dp[i][1] = dp[i - 1][1] - dp[i][1]一定是選最大的，所以
dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);
- 操作一：第i天買入股票了，那么
-
同理dp[i][2]也有兩個(gè)操作：
- 操作一：第i天賣出股票了，那么
dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i] - 操作二：第i天沒有操作，沿用前一天賣出股票的狀態(tài)，即：
dp[i][2] = dp[i - 1][2] - 所以
dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])
- 操作一：第i天賣出股票了，那么
同理可推出剩下狀態(tài)部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
dp數(shù)組如何初始化
第0天沒有操作，這個(gè)最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次買入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次賣出的操作，這個(gè)初始值應(yīng)該是多少呢？
此時(shí)還沒有買入，怎么就賣出呢？ 其實(shí)大家可以理解當(dāng)天買入，當(dāng)天賣出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次買入操作，初始值應(yīng)該是多少呢？應(yīng)該不少同學(xué)疑惑，第一次還沒買入呢，怎么初始化第二次買入呢？
第二次買入依賴于第一次賣出的狀態(tài)，其實(shí)相當(dāng)于第0天第一次買入了，第一次賣出了，然后再買入一次（第二次買入），那么現(xiàn)在手頭上沒有現(xiàn)金，只要買入，現(xiàn)金就做相應(yīng)的減少。
所以第二次買入操作，初始化為：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次賣出初始化dp[0][4] = 0;確定遍歷順序
從遞歸公式其實(shí)已經(jīng)可以看出，一定是從前向后遍歷，因?yàn)閐p[i]，依靠dp[i - 1]的數(shù)值。-
舉例推導(dǎo)dp數(shù)組
以輸入[1,2,3,4,5]為例
image.png
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
int len = prices.length;
/*
* 定義 5 種狀態(tài):
* 0: 沒有操作, 1: 第一次買入, 2: 第一次賣出, 3: 第二次買入, 4: 第二次賣出
*/
int[][] dp = new int[len][5];
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][3] = -prices[0];
for(int i = 1; i < len; i++){
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], 0 - prices[i]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
}
return dp[len - 1][4];
}
}
