什么是命題

• (1)陳述句: 對(2)確定的對象進行(3)判斷.
• 真值是命題的固有屬性, 但是能否知道真值是另外一回事; 也就是說, 當前條件下能否判斷出真值, 不是是否是命題的條件.
• 自相矛盾的悖論不能算命題, 命題非真即假

排中律

• 非真即假
• 任何一個事物在某個時間段內具有或者不具有某個屬性, 而沒有其他"中間狀態", 叫做排中律
• 反證法就是典型的排中律運用
• • 直覺主義者對排中律的質疑: 有窮推到無窮會出問題;

邏輯連接詞

連接詞內容

• 原子命題
• 原子命題+邏輯連接詞 = 復合命題
• 非, 或, 且, 如果就, 當且僅當(等價),

命題如何變成算式

• 抽象

  • 僅僅關注命題的本質屬性: 真值
  • 僅僅關注邏輯連接詞的本質屬性: 運算

• 把命題和邏輯連接詞變成符號 用規則連接

  • 原子命題: p, q, r, s 記號
  • 邏輯連接詞符號: 非!, 且^, 或v, 如果就→, 當且僅當 雙向箭頭;
  • 符號的定義
    • 命題的真值: 1 true, 0 false

• *形式主義者: 數學就是符號的游戲, 只不過有一部分恰好符合現實世界而已

邏輯連接詞具體定義

非 not

• 注意: 天鵝都是白的 非命題: 天鵝不都是白的/ 并非所有天鵝都是白的;

且 and conjunction 合取(看倆)

• 劉靈既聰明, 又用功 ==> p ^ q
• 劉靈不但聰明, 而且用工 ==> p ^ q
• 劉靈雖然不聰明, 但是用工 ==> !p ^ q
• 劉靈不是不聰明, 而是不用功 ==> p ^ !q
• 拋棄了自然語言的情感, 價值傾向, 只留下真值;

或 or disjunction 析取(看單)

• 小龍學過java或者C ==> p v q //相容或, 我可以都學過
• 小龍生日是在9月或者10月 ==> p v q //排斥或, 二者只能成立一個
• 后面兩種排斥或 也叫 "抑或"; //原來新文化運動中創造的漢語詞匯都這么考究;

蘊含詞 implication = 如果..就..(if.. then..)

• p->q p為蘊含前件, 蘊含后件; //表示了一個充分關系;
• 自然語言向蘊涵詞的轉化:
  • 只要..就.. = 如果..那么
  • 注意: 只有a才b //是必要條件, 寫出來應該是b->a, 在集合中, 是a包含b, b為a的子集(充分條件);
  • 注意: 蘊含只是數理邏輯中的一種邏輯連接詞, 不一定有什么內在的因果關系;
• 只有p真q假的時候, p->q才為假
  • p假q真: 如果雪是綠的, 那么天安門是北京的. (真)
    //*這句話并不和現實情況矛盾, 假設有現實世界和平行世界, 那么現實世界滿足 如果雪是白的, 天安門是北京的; 那么由雪是綠的這個假命題, 我們進入了平行世界, 那么在這個世界里, 天安門是北京的還是說不是北京的都可以, 因為平行世界對現實世界不構成影響, 因此可以隨意怎么設置. *
  • p假q假: 如果雪是綠的, 那么天安門是上海的. (真) // 也很符合直覺, 類似太陽從西邊出來了, 我才會嫁給你這種臭男人. 潛臺詞是在現實中不會發生.
  • p真q假: 如果雪是白的, 那么天安門是上海的. (假) //這個為假, 雪是白的, 我們在現實世界里, 那么天安門必須是北京的.
  • p真q真: 如果雪是白的, 那么天安門是北京的. (真) //很符合直覺
• 與!p v q的真值表相同;
• 另外一個理解p真q假才為假的方法是把它當成一句諾言: 如果天氣好, 我就去接你 //那么天氣不好的話, 我接你還是不接你都不算是違反了諾言. 只有天氣好, 我不接你, 才是違反了諾言.
• 后記: 高中做閱讀理解填空的時候, 常常被 問題: paragraph xx implies ( ) ,要選擇ABCD的一個statement難住, 其實這里implies的意思就是說胡:
  • 問xx段落蘊含著什么
  • 或者說, xx段落是下面哪個statement的充分條件,
  • 再或者說, xx段落是下面哪個statement的子集;

雙向蘊涵詞 two-way implication - if and only if - 當且僅當

• 自然語言:
  • 嫌疑犯有罪 當且僅當 法庭判決嫌疑人有罪
    • p <=> q 相當于說這兩個是等價的
  • 除非斷網了, 否則他肯定QQ在線
    • p <=> q
    • 只要有網絡, 他就QQ在線
    • 只要沒有網絡, 他就QQ不在線 //注意區別: 只有沒有網絡, 他才QQ不在線
    • 可見p, q同真同假的時候, 雙向蘊涵詞才為真;

復合命題的例子

• 如果2+3>5 當前僅當 5是合數, 則2和3都是有理數
  • p: 2+3>5, q: 5是合數, r: 2是有理數 s: 3是有理數
  • (p<=>q) -> (r^s)

命題公式

定義

• 命題常元和命題變元是命題公式, 稱作原子公式或者原子
• 如果A, B是命題公式, 那么!A, A^B, AvB, A->B, A<->B也是命題公式
• 有限步引用上述符號組成的串也是命題公式

邏輯連接詞的優先級

• 按照我們給出定義的順序: !A, A^B, AvB, A->B, A<->B 從左到右, 優先級遞減;

命題公式的意義

• 真值函數, f(p, q, r, s) = 命題公式 , 是從p, q, r, s的定義域集合(其實也就是{0, 1}) 到{0, 1}的一個映射
• 給命題變元賦值;

真值表

• 有n個原子(變元), k個邏輯連接符(運算符)
• 真值表會有n+k行, 2^n列(n個原子, 每個原子取0 or 1)
• 沒有交換律和結合律, 計算嚴格按照順序
• 成真賦值, 成假賦值 α= {1, 0, 1} α(A) = 1 //表示說命題公式A, 在給了α有序三元組的賦值后, 會成真; 也可以把A換成B, C, 可能出現 α(B) = 1, α(C) = 0;

命題形式化

自然語言句子的形式化

解釋: 是將自然語言進行抽象, 這樣可以形式化為可以運算的命題公式

1. 確定原子命題
2. 確定邏輯連接詞
3. 處理原子之間的連接關系以及順序

例子

• 我和他既是兄弟, 又是同學
  • p: 我和他是兄弟 q: 我和他是同學
  • ^
  • p^q
• 狗急跳墻
  • p: 狗急 q: 跳墻
  • 蘊涵 ->
  • p->q
• 如果他不來上課了要么是生病了, 要么是不在本地了.
  • p: 他不來上課了 q: 生病了 r: 不在本地了;
  • 蘊涵->, 或(而且是抑或) v
  • p -> ( (q ^ !r ) v ( !q ^ r ) )
• 無論是否下雨, 我都去上學
  • p: 下雨 q: 我去上學
  • 非!, 合取^, 析取v
  • (p^q) v (!p^q)
  • (p v !p) -> q
  • (p->q) ^ (!p->q) //兩者都成立
  • q //前面這個對后面沒有影響, 因此可以寫出q, 即我總是去上學
• note: 可以看的出同樣的自然語言, 可以轉為為多種邏輯形式, 但是其都是等價的, 也就是說對于相同的真值有序組輸入, 總是得到一樣的結果, 擁有相同的真值表.