前言：題圖無關，接下來開始簡單學習學習優先隊列和堆的相關數據結構的知識；

前序文章：

• 數據結構與算法(1)——數組與鏈表（http://www.lxweimin.com/p/7b93b3570875）
• 數據結構與算法(2)——棧和隊列(http://www.lxweimin.com/p/5087c751cb42)
• 數據結構與算法(3)——樹（二叉、二叉搜索樹）(http://www.lxweimin.com/p/4ef1f50d45b5)

什么是優先隊列？

聽這個名字就能知道，優先隊列也是一種隊列，只不過不同的是，優先隊列的出隊順序是按照優先級來的；在有些情況下，可能需要找到元素集合中的最小或者最大元素，可以利用優先隊列ADT來完成操作，優先隊列ADT是一種數據結構，它支持插入和刪除最小值操作（返回并刪除最小元素）或刪除最大值操作（返回并刪除最大元素）；

這些操作等價于隊列的enQueue和deQueue操作，區別在于，對于優先隊列，元素進入隊列的順序可能與其被操作的順序不同，作業調度是優先隊列的一個應用實例，它根據優先級的高低而不是先到先服務的方式來進行調度；

如果最小鍵值元素擁有最高的優先級，那么這種優先隊列叫作升序優先隊列（即總是先刪除最小的元素），類似的，如果最大鍵值元素擁有最高的優先級，那么這種優先隊列叫作降序優先隊列（即總是先刪除最大的元素）；由于這兩種類型時對稱的，所以只需要關注其中一種，如升序優先隊列；

優先隊列ADT

下面操作組成了優先隊列的一個ADT；

1.優先隊列的主要操作
優先隊列是元素的容器，每個元素有一個相關的鍵值；

• insert(key, data)：插入鍵值為key的數據到優先隊列中，元素以其key進行排序；
• deleteMin/deleteMax：刪除并返回最小/最大鍵值的元素；
• getMinimum/getMaximum：返回最小/最大劍指的元素，但不刪除它；

2.優先隊列的輔助操作

• 第k最小/第k最大：返回優先隊列中鍵值為第k個最小/最大的元素；
• 大小（size）：返回優先隊列中的元素個數；
• 堆排序（Heap Sort）：基于鍵值的優先級將優先隊列中的元素進行排序；

優先隊列的應用

• 數據壓縮：赫夫曼編碼算法；
• 最短路徑算法：Dijkstra算法；
• 最小生成樹算法：Prim算法；
• 事件驅動仿真：顧客排隊算法；
• 選擇問題：查找第k個最小元素；
• 等等等等....

優先隊列的實現比較

堆和二叉堆

什么是堆

堆是一顆具有特定性質的二叉樹，堆的基本要求就是堆中所有結點的值必須大于或等于（或小于或等于）其孩子結點的值，這也稱為堆的性質；堆還有另一個性質，就是當 h > 0 時，所有葉子結點都處于第 h 或 h - 1 層（其中 h 為樹的高度，完全二叉樹），也就是說，堆應該是一顆完全二叉樹；

在下面的例子中，左邊的樹為堆（每個元素都大于其孩子結點的值），而右邊的樹不是堆（因為5大于其孩子結點2）

二叉堆

在二叉堆中，每個結點最多有兩個孩子結點，在實際應用中，二叉堆已經足夠滿足需求，因此接下來主要討論二叉最小堆和二叉最大堆；

堆的表示：在描述堆的操作前，首先來看堆是怎樣表示的，一種可能的方法就是使用數組，因為堆在形式上是一顆完全二叉樹，用數組來存儲它不會浪費任何空間，例如下圖：

用數組來表示堆不僅不會浪費空間還具有一定的優勢：

• 每個結點的左孩子為下標i的2倍：left child(i) = i * 2；每個結點的右孩子為下標i的2倍加1：right child(i) = i * 2 + 1
• 每個結點的父親結點為下標的二分之一：parent(i) = i / 2，注意這里是整數除，2和3除以2都為1，大家可以驗證一下；
• 注意：這里是把下標為0的地方空出來了的，主要是為了方便理解，如果0不空出來只需要在計算的時候把i值往右偏移一個位置就行了（也就是加1，大家可以試試，下面的演示也采取這樣的方式）；

二叉堆的相關操作

堆的基本結構

public class MaxHeap<E extends Comparable<E>> {
    private Array<E> data;
    public MaxHeap(int capacity){ data = new Array<>(capacity); }
    public MaxHeap(){ data = new Array<>(); }
    // 返回堆中的元素個數
    public int size(){ return data.getSize(); }
    // 返回一個布爾值, 表示堆中是否為空
    public boolean isEmpty(){ return data.isEmpty(); }
    // 返回完全二叉樹的數組表示中，一個索引所表示的元素的父親節點的索引
    private int parent(int index){
        if(index == 0)
            throw new IllegalArgumentException("index-0 doesn't have parent.");
        return (index - 1) / 2;
    }
    // 返回完全二叉樹的數組表示中，一個索引所表示的元素的左孩子節點的索引
    private int leftChild(int index){ return index * 2 + 1; }
    // 返回完全二叉樹的數組表示中，一個索引所表示的元素的右孩子節點的索引
    private int rightChild(int index){ return index * 2 + 2; }
}

向堆中添加元素和Sift Up

當插入一個元素到堆中時，它可能不滿足堆的性質，在這種情況下，需要調整堆中元素的位置使之重新變成堆，這個過程稱為堆化（heapifying）；在最大堆中，要堆化一個元素，需要找到它的父親結點，如果不滿足堆的基本性質則交換兩個元素的位置，重復該過程直到每個結點都滿足堆的性質為止，下面我們來模擬一下這個過程：

下面我們在該堆中插入一個新的元素26：

我們通過索引（上面的公式）可以很容易地找到新插入元素的父親結點，然后比較它們的大小，如果新元素更大則交換兩個元素的位置，這個操作就相當于把該元素上浮了一下：

重復該操作直到26到了一個滿足堆條件的位置，此時就完成了插入的操作：

對應的代碼如下：

// 向堆中添加元素
public void add(E e){
    data.addLast(e);
    siftUp(data.getSize() - 1);
}

private void siftUp(int k){

    while(k > 0 && data.get(parent(k)).compareTo(data.get(k)) < 0 ){
        data.swap(k, parent(k));
        k = parent(k);
    }
}

取出堆中的最大元素和Sift Down

如果理解了上述的過程，那么取出堆中的最大元素（堆頂元素）將變得容易，不過這里運用到一個小技巧，就是用最后一個元素替換掉棧頂元素，然后把最后一個元素刪除掉，這樣一來元素的總個數也滿足條件，然后只需要把棧頂元素依次往下調整就好了，這個操作就叫做Sift Down（下沉）：

用最后元素替換掉棧頂元素，然后刪除最后一個元素：

然后比較其孩子結點的大小：

如果不滿足堆的條件，那么就跟孩子結點中較大的一個交換位置：

重復該步驟，直到16到達合適的位置：

完成取出最大元素的操作：

對應的代碼如下：

// 看堆中的最大元素
public E findMax(){
    if(data.getSize() == 0)
        throw new IllegalArgumentException("Can not findMax when heap is empty.");
    return data.get(0);
}

// 取出堆中最大元素
public E extractMax(){

    E ret = findMax();

    data.swap(0, data.getSize() - 1);
    data.removeLast();
    siftDown(0);

    return ret;
}

private void siftDown(int k){

    while(leftChild(k) < data.getSize()){
        int j = leftChild(k); // 在此輪循環中,data[k]和data[j]交換位置
        if( j + 1 < data.getSize() &&
                data.get(j + 1).compareTo(data.get(j)) > 0 )
            j ++;
        // data[j] 是 leftChild 和 rightChild 中的最大值

        if(data.get(k).compareTo(data.get(j)) >= 0 )
            break;

        data.swap(k, j);
        k = j;
    }
}

Replace 和 Heapify

Replace這個操作其實就是取出堆中最大的元素之后再新插入一個元素，常規的做法是取出最大元素之后，再利用上面的插入新元素的操作對堆進行Sift Up操作，但是這里有一個小技巧就是直接使用新元素替換掉堆頂元素，之后再進行Sift Down操作，這樣就把兩次O(logn）的操作變成了一次O(logn)：

// 取出堆中的最大元素，并且替換成元素e
public E replace(E e){

    E ret = findMax();
    data.set(0, e);
    siftDown(0);
    return ret;
}

Heapify翻譯過來就是堆化的意思，就是將任意數組整理成堆的形狀，通常的做法是遍歷數組從0開始添加創建一個新的堆，但是這里存在一個小技巧就是把當前數組就看做是一個完全二叉樹，然后從最后一個非葉子結點開始進行Sift Down操作就可以了，最后一個非葉子結點也很好找，就是最后一個結點的父親結點，大家可以驗證一下：

從22這個節點開始，依次開始Sift Down操作：

重復該過程直到堆頂元素：

完成堆化操作：

將n個元素逐個插入到一個空堆中，算法復雜度是O(nlogn)，而heapify的過程，算法復雜度為O(n)，這是有一個質的飛躍的，下面是代碼：

public MaxHeap(E[] arr){
    data = new Array<>(arr);
    for(int i = parent(arr.length - 1) ; i >= 0 ; i --)
        siftDown(i);
}

基于堆的優先隊列

首先我們的隊列仍然需要繼承我們之前將隊列時候聲明的哪個接口Queue，然后實現這個接口中的方法就可以了，之類簡單寫一下：

public class PriorityQueue<E extends Comparable<E>> implements Queue<E> {

    private MaxHeap<E> maxHeap;

    public PriorityQueue(){ maxHeap = new MaxHeap<>(); }
    @Override
    public int getSize(){ return maxHeap.size(); }
    @Override
    public boolean isEmpty(){ return maxHeap.isEmpty(); }
    @Override
    public E getFront(){ return maxHeap.findMax(); }
    @Override
    public void enqueue(E e){ maxHeap.add(e); }
    @Override
    public E dequeue(){ return maxHeap.extractMax(); }
}

Java中的PriorityQueue

在Java中也實現了自己的優先隊列java.util.PriorityQueue，與我們自己寫的不同之處在于，Java中內置的為最小堆，然后就是一些函數名不一樣，底層還是維護了一個Object類型的數組，大家可以戳戳看有什么不同，另外如果想要把最小堆變成最大堆可以給PriorityQueue傳入自己的比較器，例如：

// 默認為最小堆
PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>();

pq.add(5);
pq.add(2);
pq.add(1);
pq.add(10);
pq.add(3);

while (!pq.isEmpty()) {
    System.out.println(pq.poll() + ", ");
}
System.out.println();
System.out.println("————————————————————————");

// 使用Lambda表達式傳入自己的比較器轉換成最大堆
PriorityQueue<Integer> pq2 = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
pq2.add(5);
pq2.add(2);
pq2.add(1);
pq2.add(10);
pq2.add(3);

while (!pq2.isEmpty()) {
    System.out.println(pq2.poll() + ", ");
}

LeetCode相關題目整理

23. 合并K個排序鏈表

參考答案：（85ms）

public ListNode mergeKLists(ListNode[] lists) {
    if (lists == null || lists.length == 0) return null;

    PriorityQueue<ListNode> q = new PriorityQueue<>(Comparator.comparing(node -> node.val));
    for (int i = 0; i < lists.length; i++) {
        if (lists[i] != null) {
            q.add(lists[i]);
        }
    }

    ListNode dummy = new ListNode(0);
    ListNode tail = dummy;

    while (!q.isEmpty()) {
        tail.next = q.poll();
        tail = tail.next;
        if (tail.next != null) {
            q.add(tail.next);
        }
    }

    return dummy.next;
}

215. 數組中的第K個最大元素

我的答案：（75ms）

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {

    // 正確性判斷
    if (0 == nums.length || null == nums || k <= 0 || k > nums.length) {
        return -1;
    }

    // 構造優先隊列,默認為最小堆,傳入自定義的比較器轉換成最大堆
    PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);
    for (Integer num : nums) {
        pq.add(num);
    }
    for (int i = 0; i < k - 1; i++) {
        pq.remove();
    }
    return pq.peek();
}

參考答案：（5ms）

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
    if (nums.length == 1) {
        return nums[0];
    }

    int max = nums[0];
    int min = nums[0];

    for (int i : nums) {
        max = i > max ? i : max;
        min = i < min ? i : min;
    }

    int[] arrs = new int[max - min + 1];

    for (int i : nums) {
        arrs[max - i]++;
    }

    int pos = 0;
    for (int i = 0; i < arrs.length; i++) {
        pos += arrs[i];
        if (pos >= k) {
            return max - i;
        }
    }

    return nums[0];
}

還看到一個簡單粗暴的，也是服了：（4ms）

public int findKthLargest(int[] nums, int k) {
    Arrays.sort(nums);
    return nums[nums.length - k];
}

而且我隨機生成了一個100萬數據的隨機數組，來測試這個簡單粗暴的方法的效率，發現當數據量上去之后，排序這個操作變得繁瑣，我自己測試的時候，上面三個方法，第三個大概比第一個（我自己寫的方法）多花僅4倍的時間；

239. 滑動窗口最大值（類似劍指Offer面試題59）

參考答案：（88ms）

public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
    if (nums == null || k <= 0) return new int[0];
    int[] res = new int[nums.length - k + 1];
    ArrayDeque<Integer> deque = new ArrayDeque<Integer>();

    int index = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        while (!deque.isEmpty() && deque.peek() < i - k + 1) // Ensure deque's size doesn't exceed k
            deque.poll();

        // Remove numbers smaller than a[i] from right(a[i-1]) to left, to make the first number in the deque the largest one in the window      
        while (!deque.isEmpty() && nums[deque.peekLast()] < nums[i])
            deque.pollLast();

        deque.offer(i);// Offer the current index to the deque's tail

        if (i >= k - 1)// Starts recording when i is big enough to make the window has k elements 
            res[index++] = nums[deque.peek()];
    }
    return res;
}

參考答案2：（9ms）

public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
/*
思想：依次遍歷數組，有效范圍在長度k內尋找當前最大值，在用result數組來依次存儲當前長度K內的最大值；
     若在當前輪中出現新增的nums[end]大于curMax,直接替換即可；
     如果當前輪curMax不是新增的nums[end]，在新的范圍內重置curMax.
*/
    if (nums.length == 0 || k <= 0)
        return new int[0];
    int curMax = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        if (nums[i] > curMax)
            curMax = nums[i];
    }
    int[] ans = new int[nums.length - k + 1];
    ans[0] = curMax;

    for (int start = 1; start + k - 1 < nums.length; start++) {
        int end = start + k - 1;
        if (nums[end] > curMax)
            curMax = nums[end];
        else if (nums[start - 1] == curMax) {//新增的不大于curMax，新范圍內重置
            curMax = Integer.MIN_VALUE;
            for (int i = start; i <= end; i++) {
                if (nums[i] > curMax)
                    curMax = nums[i];
            }
        }
        ans[start] = curMax;
    }
    return ans;
}

264. 丑數 II（劍指Offer面試題49）

參考答案：（7ms）

public int nthUglyNumber(int n) {
    // 正確性判斷
    if (n < 1 || n > 1690) {
        return -1;
    }
    int[] ugly = new int[n];
    ugly[0] = 1;
    int index2 = 0, index3 = 0, index5 = 0;
    int factor2 = 2, factor3 = 3, factor5 = 5;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int min = Math.min(Math.min(factor2, factor3), factor5);
        ugly[i] = min;
        if (factor2 == min)
            factor2 = 2 * ugly[++index2];
        if (factor3 == min)
            factor3 = 3 * ugly[++index3];
        if (factor5 == min)
            factor5 = 5 * ugly[++index5];
    }
    return ugly[n - 1];
}

如果采用逐個判斷每個整數是不是丑數的解法，直觀但不夠高效，所以我們就需要換一種思路，我的第一反應就是這其中一定有什么規律，但是嘗試著找了一下，沒找到...看了看答案才幡然醒悟，前面提到的算法之所以效率低，很大程度上是因為不管一個數是不是丑數，我們都要對它進行計算，接下來我們試著找到一種只計算丑數的方法，而不在非丑數的整數上花費時間，根據丑數的定義，丑數應該是另一個丑數乘以2、3或者5的結果（1除外），因此，我們可以創建一個數組，里面的數字是排好序的丑數，每個丑數都是前面的丑數乘以2、3或者5得到的，也就是上面的算法了..

295.數據流的中位數（劍指Offer面試題41）

參考答案：（219ms）

public class MedianFinder {

    PriorityQueue<Integer> maxHeap;
    PriorityQueue<Integer> minHeap;

    /**
     * initialize your data structure here.
     */
    public MedianFinder() {
        maxHeap = new PriorityQueue<>(Collections.reverseOrder());
        minHeap = new PriorityQueue<>();
    }

    public void addNum(int num) {
        maxHeap.add(num);
        minHeap.add(maxHeap.poll());
        if (minHeap.size() - maxHeap.size() > 0) {
            maxHeap.add(minHeap.poll());
        }
    }

    public double findMedian() {
        if (maxHeap.size() == minHeap.size()) {
            return (maxHeap.peek() + minHeap.peek()) / 2.0;
        } else {
            return maxHeap.peek();
        }
    }
}

思路：這道題的實現思路有很多，比如我們可以在插入的時候就將每個元素插入到正確的位置上，這樣返回中位數的時候就會是一個O(1)的操作，下面列舉一張表來說明不同實現的復雜度具體是多少：

數據結構	插入的時間復雜度	得到中位數的時間復雜度
沒有排序的數組	O(1)	O(n)
排序的數組	O(n)	O(1)
排序的鏈表	O(n)	O(1)
二叉搜索樹	平均O(logn)，最差O(n)	平均O(logn)，最差O(n)
AVL樹	O(logn)	O(logn)
最大堆和最小堆	O(logn)	O(logn)

AVL樹是一種很高效的數據結構，但是在大多數的語言中都沒有現成的實現，所以考慮用最大堆和最小堆，對于一個已經排好序的數據容器，我們可以從中間分開分成兩個部分，其中拿P1指向左半部分最大的元素，拿P2指向有半部分最小的元素，如果能夠保證數據容器左邊的數據都小于右邊的數據，那么即使左、右兩邊內部的數據沒有排序，我們仍然可以根據左邊最大的數和右邊最大的數得到中位數：

如何快速從一個數據容器中找出最大數呢？我們可以使用最大堆來實現這個數據容器，因為堆頂的元素就是最大的元素；同樣我們可以使用最小堆來快速找出一個數據容器中最小數。因此按照這個思路我們就可以使用一個最大堆實現左邊的數據容器，使用一個最小堆實現右邊的數據容器，但是需要注意的是這兩個容器的大小差值不能超過1；

347. 前K個高頻元素（類似劍指Offer面試題40）

參考答案：（131ms）

public List<Integer> topKFrequent(int[] nums, int k) {
    TreeMap<Integer, Integer> map = new TreeMap<>();
    // 保存頻率
    for (int num : nums) {
        if (map.containsKey(num)) {
            map.put(num, map.get(num) + 1);
        } else {
            map.put(num, 1);
        }
    }

    PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(map::get));
    for (int key : map.keySet()) {
        if (pq.size() < k) {
            pq.add(key);
        } else if (map.get(key) > map.get(pq.peek())) {
            pq.remove();
            pq.add(key);
        }
    }

    LinkedList<Integer> res = new LinkedList<>();
    while (!pq.isEmpty()) {
        res.add(pq.remove());
    }
    return res;
}

692. 前K個高頻單詞

參考答案：（72ms）

public List<String> topKFrequent(String[] words, int k) {
    Map<String, Integer> count = new HashMap();
    for (String word: words) {
        count.put(word, count.getOrDefault(word, 0) + 1);
    }
    List<String> candidates = new ArrayList(count.keySet());
    Collections.sort(candidates, (w1, w2) -> count.get(w1).equals(count.get(w2)) ?
            w1.compareTo(w2) : count.get(w2) - count.get(w1));

    return candidates.subList(0, k);
}

這道題類似于上面的第347題，但是問題出在返回的順序上，需要自己來定義一個比較器來排序..然后也學到一個寫法，就是上面的第一個for循環里，getOrDefault()方法，get√..

參考答案2：（91ms）

public List<String> topKFrequent(String[] words, int k) {
    Map<String, Integer> count = new HashMap();
    for (String word: words) {
        count.put(word, count.getOrDefault(word, 0) + 1);
    }
    PriorityQueue<String> heap = new PriorityQueue<String>(
            (w1, w2) -> count.get(w1).equals(count.get(w2)) ?
                    w2.compareTo(w1) : count.get(w1) - count.get(w2) );

    for (String word: count.keySet()) {
        heap.offer(word);
        if (heap.size() > k) heap.poll();
    }

    List<String> ans = new ArrayList();
    while (!heap.isEmpty()) ans.add(heap.poll());
    Collections.reverse(ans);
    return ans;
}

這個解法就有點兒類似于上面的347題，其實是大同小異，就是自己不會靈活使用比較器而已，學習到了學習到了√...

簡單總結

今天算是很有收獲的一天，因為這兩種數據結構都是自己特別不熟悉的，特別是在刷了一些LeetCode相關題目之后，對這兩種數據有了很不一樣的認識，特別是堆的應用，這是一種特別適合用來找第k小/大的特殊的數據結構，并且在Java中居然有直接的實現，這可太棒了，而且今天的效率還算挺高的，滿足；

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