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連續的情況

定理3.3.1 連續場合的卷積公式：設 $X$ 與 $Y$ 是兩個相互獨立的連續隨機變量，其密度函數分別為 $p_X(x)$ 和 $p_Y(y)$ ，則其和 $X=Z+Y$ 的密度函數為
$p_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}p_X(z-y)p_Y(y)dy$
$\qquad \quad=\int_{-\infty}^{\infty}p_X(x)p_Y(z-x)dx$
證明：

$Z=X+Y$ 的分布函數為
$F_Z(z)=P(X+Y\leqslant Z)$
$\qquad \quad =\iint_{x+y\leqslant z}p_X(x)p_Y(y)dxdy$
$\quad \qquad =\int_{-\infty}^{\infty}\left\{ \int_{-\infty}^{z-y}p_X(x)dx \right\} p_Y(y)dy$
$\qquad \quad =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{z}p_X(t-y)p_Y(y)dtdy$
$\qquad \quad =\int_{-\infty}^{z}(\int_{-\infty}^{\infty}p_X(t-y)p_Y(y)dy)dt$
由此可得 $X$ 的密度函數為
$p_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}p_X(z-y)p_Y(y)dy$
在上式積分中另 $z-y=x$ ，則可得
$\int_{-\infty}^{\infty}p_X(x)p_Y(z-x)dx$

這就是連續場合下的卷積公式。

正態分布的可加性（例3.3.7）：設隨機變量 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ ，且X與Y獨立，則 $Z=X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$
證明：

$Z=X+Y$ 仍在 $(-\infty,\infty)$ 上取值，利用卷積公式可得
$p_Z(z)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}\int_{-\infty}^{\infty}exp\left\{ -\frac{1}{2}[\frac{(z-y-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}] \right\}dy$
對上式被積函數中的指數部分按 $y$ 的冪次展開，再合并同類項，不難得到 @TODO
$\frac{(z-y-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}=A(y-\frac{B}{A})^2+\frac{(z-\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2}$
其中
$A=\frac{1}{\sigma_1^2}+\frac{1}{\sigma_2^2},\quad B=\frac{z-\mu_1}{\sigma_1^2}+\frac{\mu_2}{\sigma_2^2}.$
代回原式，可得
$p_Z(z)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2}exp\left\{ -\frac{1}{2}\frac{(z-\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2} \right\}\cdot \int_{-\infty}^{\infty}exp\left\{ -\frac{A}{2}(y-\frac{B}{a})^2 \right\}dy$ .
利用正態密度函數的正則性@TODO，上式中的積分應為 $\sqrt{2\pi}/\sqrt{A}$ ，于是
$p_Z(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}exp\left\{ -\frac{1}{2}\frac{(z-\mu_1-\mu_2)^2}{\sigma_1^2+\sigma_2^2} \right\}$ .
這正是數學期望為 $\mu_1+\mu_2$ ，方差為 $\sigma_1^2+\sigma_2^2$ 的正態密度函數。

$Q.E.D.$

上述結論表明：

兩個獨立的正態變量之和仍為正態變量，其分布的兩個參數對應相加，即
$N(\mu_1,\sigma_1^2)\ast N(\mu_2,\sigma_2^2)=N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$ .
隨機變量 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，由于對任意非零實數 $a$ 有 $aX\sim N(a\mu,a^2 \sigma^2)$ ，可得結論：
任意 $n$ 個相互獨立的正態變量的線性組合仍是正態變量，即
$a_1X_1+a_2X_2+…+a_nX_n\sim N(\mu_0,\sigma_0^2)$
若記 $X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2),i=1,2,…,n$ ，則參數 $\mu_0$ 與 $\sigma_0^2$ 分別為
$\mu_0=\sum_{i=1}^{n}a_i\mu_i, \quad \sigma_0^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^2\sigma_i^2$ .

伽瑪分布的可加性（例3.3.8）：設隨機變量 $X\sim Ga(\alpha_1,\lambda),Y\sim Ga(\alpha_2,\lambda)$ ，且 $X,Y$ 獨立，則 $Z=X+Y\sim Ga(\alpha_1+\alpha_2,\lambda)$
證明：

$Z=X+Y$ 在 $(0,\infty)$ 上取值，所以
當 $z\leqslant 0$ 時， $p_Z(z)=0$
當 $z>0$ 時，由卷積公式，此時被積函數p_X(z-y)p_Y(y)得非零區域為 $0<y<z$ ，故
$p_Z(z)=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\int_{0}^{z}(z-y)^{\alpha_1-1}e^{-\lambda(z-y)}\cdot y^{\alpha_2-1}e^{-\lambda(y)}dy$
$\qquad = \frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\int_{0}^{z}(z-y)^{\alpha_1-1}y^{\alpha_2-1}\cdot e^{-\lambda(z-y)-\lambda(y)}dy$
$\qquad = \frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}e^{-\lambda z}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\int_{0}^{z}(z-y)^{\alpha_1-1}y^{\alpha_2-1}dy$
令 $y=zt$ ，代入上式 @TODO
$\qquad = \frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}e^{-\lambda z}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\int_{0}^{{\color{red} z}}(1-t)^{\alpha_1-1}t^{\alpha_2-1}z^{a_1+a_2-1}{\color{red} {z^{-1}}}d({\color{red} z}t)$
$\qquad = \frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}e^{-\lambda z}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}\int_{0}^{{\color{red} 1}}(1-t)^{\alpha_1-1}t^{\alpha_2-1}z^{a_1+a_2-1}dt$
$\qquad = \frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}e^{-\lambda z}}{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}z^{a_1+a_2-1}\int_{0}^{1}(1-t)^{\alpha_1-1}t^{\alpha_2-1}dt$
最后的積分是貝塔函數，它等于 $\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)/\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)$ ，代入上式得
$p_Z(z)=\frac{\lambda^{\alpha_1+\alpha_2}}{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}z^{a_1+a_2-1}e^{-\lambda z}$
這正是形狀參數為 $\alpha_1+\alpha_2$ ，尺度參數仍為 $\lambda$ 的伽瑪分布。

$Q.E.D.$

這個結論表明：

兩個尺度參數相同的獨立的伽瑪變量之和仍為伽瑪變量，其尺度參數不變，而形狀參數相加，即
$Ga(\alpha_1,\lambda)\ast Ga(\alpha_2,\lambda)=Ga(\alpha_1+\alpha_2,\lambda)$
以上結論可以推廣到有限個尺度參數相同的獨立伽瑪變量之和上
$Ga(\alpha_1,\lambda)\ast Ga(\alpha_2,\lambda)\ast …\ast Ga(\alpha_m,\lambda)=Ga(\alpha_1+\alpha_2+…+\alpha_m,\lambda)$
伽瑪分布的特例①：指數分布
$Exp(\lambda)=Ga(1,\lambda)$ ，有
$m$ 個獨立同分布的指數變量之和為伽瑪變量，即
$\underbrace{Exp(\lambda)\ast Exp(\lambda)\ast…\ast Exp(\lambda)}_{m個}=Ga(m,\lambda)$
伽瑪分布的特例②：卡方分布
$\chi^2(n)=Ga(\frac{n}{2},\frac{1}{2})$ ，有
$m$ 個獨立的 $\chi^2$ 變量之和為 $\chi^2$ 變量（ $\chi^2$ 分布的可加性），即
$\chi^2(n_1)\ast \chi^2(n_2)\ast …\ast \chi^2(n_m)=\chi^2(n_1+n_2+…+n_m)$