樹Tree的基本概念
- 節點、根節點、父節點、子節點、兄弟節點
- 一棵樹可以沒有任何節點，稱為
空樹 - 一棵樹可以只有一個節點，也就是只有根節點
- 子樹、左子樹、右子樹
節點的
度（degree）：子樹的個數
??：1的度是5個：2、3、4、5、6
??：2的度是2個：21、22
??：61的度是0個樹的
度（degree）：所有節點度中的最大值
??：圖中最大的是節點1，有5個度葉子的節點（leaf）：度為0的節點
??：圖中21、221、222、223、31、5、51、52、61都是葉子節點非葉子的節點：度不為0的節點
樹的
層數（level）：根節點在第1層，根節點的子節點在第2層，以此類推（有些教程從第0層計算）節點的
深度（depth）：從根節點到當前節點的唯一路勁上的節點總數
??：節點2的深度：從根節點1到2經過了2個節點，深度為2
??：節點31的深度：從根節點1到31經過了3個節點，深度為3節點的
高度（height）：從當前節點到最遠葉子節點的路勁上的節點總數
??：節點2的高度：圖中看出從節點2到最遠的葉子節點為221、222、223中的一個，取其中一個計算，經歷了2-22-221總共3個節點，所有高度為3樹的
深度：所有節點深度中的最大值樹的
高度：所有節點高度中的最大值樹的
深度等于 樹的高度
有序樹、無序樹、森林
- 有序樹：樹中的任意節點的子節點之間有順序關系
- 有序樹：樹中的任意節點的子節點之間沒有順序關系（也稱為“自由樹”）
- 森林：由
m (m >= 0)棵互不相交的樹組成的集合
二叉樹Binary Tree
二叉樹的特點：
- 每個節點的度最大值為
2（最多擁有2棵子樹） - 左子樹跟右子樹是有順序的
- 即使某個節點只有一棵子樹，也要區分左右子樹
- 二叉樹是有序樹
二叉樹的性質：
- 非空二叉樹的第
i層，最多有 2i-1 個節點（i >= 1） - 高度為
h的二叉樹上最多有 2h-1 個節點（h>= 1） - 對于任何一棵非空二叉樹，如果葉子節點個數為
n0，度為2的節點個數為n2，則有：n0 = n2 + 1
假設度為1的節點個數為n1，那么二叉樹的節點總數n = n0 + n1 + n2
二叉樹的變數T = n1 + 2 * n2 = n - 1 = n0 + n1 + n2 - 1
真二叉樹Proper Binary Tree
- 所有節點的
度要么是0，要么是2
滿二叉樹Full Binary Tree
- 所有節點的
度要么是0，要么是2，且所有的葉子節點都在最后一層 - 在同樣高度的二叉樹中，滿二叉樹的葉子節點數量最多，總節點數量最多
- 滿二叉樹一定是真二叉樹，真二叉樹不一定是滿二叉樹
- 假設滿二叉樹的高度為
h（h>= 1），那么：
??：第i層的節點數量：2i-1
??：葉子節點數量：2h-1
??：總節點的數量n：n = 2h-1 = 20 + 21 + 22 + ... 2h-1
完全二叉樹Complete Binary Tree
- 葉子節點只會出現在最后
2層，且最后1層的葉子節點都靠左對齊 - 完全二叉樹從
根節點至倒數第2層是一棵滿二叉樹 - 滿二叉樹一定是完全二叉樹，完全二叉樹不一定是滿二叉樹
- 度為
1的節點只有左子樹 - 度為
1的節點要么是1個，要么是0個 - 同樣節點數量的二叉樹，完全二叉樹的高度最小
- 假設完全二叉樹的高度為
h（h>= 1），那么：
??：至少有2h-1個節點 20 + 21 + 22 + ... 2h-2 + 1
??：最多有2h-1個節點 20 + 21 + 22 + ... 2h-1，滿二叉樹
??：總節點數量：2h-1<=n<=2h，取對數：h - 1 <=< h
二叉搜索樹Binary Search Tree
1、二叉搜索樹是二叉樹的一種，是應用非常廣泛的一種二叉樹，簡稱BST
- 又稱為：二叉查找樹、二叉排序樹
- 任意一個節點的值都
大于其左子樹所有節點的值 - 任意一個節點的值都
小于其右子樹所有節點的值 - 它的左右子樹也是一顆二叉搜索樹
2、二叉搜索樹可以大大提高搜索數據的效率
3、二叉搜索樹存儲的元素必須具備可比較性
- 比如
int、double等 - 如果自定義類型，需要制定比較方式
- 不允許為
null
二叉樹的遍歷
- 遍歷是數據結構中常見操作：
1??：把所有元素都訪問一遍 - 線性數據結構的遍歷比較簡單：
1??：正序遍歷
2??：逆序遍歷 - 根據節點訪問順序的不同，二叉樹的常見遍歷方式有4種：
1??：前序遍歷
2??：中序遍歷
3??：后序遍歷
4??：層序遍歷
二叉樹的遍歷 —— 前序遍歷
- 訪問順序：
??：根節點— 前序遍歷左子樹— 前序遍歷右子樹
??：7——4、2、1、3、5——9、8、11、10、12
可以利用遞歸來實
public void preporderTraversal() {
preporderTraversal(rootNode);
}
private void preporderTraversal(Node<E> node) {
if (node == null) { return; }
System.out.println(node.element);
preporderTraversal(node.leftNode);
preporderTraversal(node.rightNode);
}
二叉樹的遍歷 —— 中序遍歷
- 訪問順序：
??：中序遍歷左子樹—根節點— 中序遍歷右子樹
??：1、2、3、4、5——7——8、9、10、11、12
- 如果訪問順序是這樣的：
??：中序遍歷右子樹—根節點— 中序遍歷左子樹
??：12、11、10、9、8——7——5、4、3、2、1 -
二叉搜索樹的中序遍歷結果是升序或者降序的
public void inorderTraversal() {
inorderTraversal(rootNode);
}
private void inorderTraversal(Node<E> node) {
if (node == null) { return; }
inorderTraversal(node.leftNode);
System.out.println(node.element);
inorderTraversal(node.rightNode);
}
二叉樹的遍歷 —— 后序遍歷
- 訪問順序：
??：后序遍歷左子樹— 后序遍歷右子樹—根節點
??：1、3、2、5、4——8、10、12、11、9——7
public void postorderTraversal() {
postorderTraversal(rootNode);
}
private void postorderTraversal(Node<E> node) {
if (node == null) { return; }
postorderTraversal(node.leftNode);
postorderTraversal(node.rightNode);
System.out.println(node.element);
}
二叉樹的遍歷 —— 層序遍歷
- 訪問順序：
??：從上到下，從左到右依次訪問每一個節點
??：7——4、9——2、5、8、1——1、3、10、12
- 實現思路：使用隊列
1??：將根節點入隊
2??：循環執行下面操作，直到隊列為空：
??：將隊頭節點A出隊，進行訪問
??：將A的左子節點入隊
??：將A的右子節點入隊
public void levelOrderTraversal() {
if (rootNode == null) { return; }
Queue<Node<E>> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(rootNode);
while (!queue.isEmpty()) {
Node<E> node = queue.poll();
System.out.println(node.element);
//是否有左右子節點
if (node.leftNode != null) {
queue.offer(node.leftNode);
}
if (node.rightNode != null) {
queue.offer(node.rightNode);
}
}
}
