今天給學生上數字邏輯第一節課，主要講了數制，后面簡單提及了原碼、反碼和補碼，碰到了兩個問題：第一，十進制數轉八進制數，學生練習時卡殼，不知道無從下手；第二，原本以為原碼、反碼、補碼應該是一年級甚至中學時就應該解決的問題，實際上原來根本不是這么回事。中學老師即使講過，估計也是對付考試的方式簡單提及，并未從本質上進行講解（那時候他們忙著對付高考，哪有閑工夫講這些題外的知識）。
真值（原碼）
首先，我們明白計算機中的數都是用二進制表示的，如3用二進制表示為：
(3)10 = (11)2
那如果-3呢？
顯然，最直接的辦法是用0或1來表示符號。很自然的，我們可以在數值前加符號位來表示，用0表示正數，用1表示負數。為了描述方便，我們后面統一用8位字長來舉例描述，如：
(3)10 = (00000011)2
(-3)10 = (10000011)2
對于8位二進制數，原碼的表示范圍是：[(11111111)2, (01111111)2]，即[-127, 127].
從直覺上，貌似已經解決了正負數的表示問題。但是，問題來了，第一個問題是：0的表示不唯一（計算機的準確性和唯一性遭遇挑戰）：
0 = (+0)10 = (00000000)2
=(-0)10 = (10000000)2
隨之而來的是第二個問題，如3-5如何處理？如果用二進制的減法規則
(00000011)2 - (00000101)2 = (11111110)2 (原碼中(11111110)2 = (-126)10)
如果按照3-5=3+（-5），則
(00000011)2 - (10000101)2 = (10001000) 2 = (-8)10
也就是說，不論按照原碼的減法和原碼的加法計算，我們不僅沒有得到正確的結果，而且兩種方式得到的結果還不一致。在計算機中，為了降低電路設計的復雜性，所有的減法都是按照加法來計算的，但是從上面的結果看，這些結果無疑都是錯誤的；并且0有兩種表示方法，這就給計算中帶來了困難，在計算時到底是用+0還是用-0？計算過程中的本質問題是：符號位參與計算，不可避免地會導致計算錯誤，即原碼中的符號位是無法參與計算的。
正確的做法應該是：如果用原碼計算減法操作，我們需要先判斷誰的絕對值大，如果被減數的絕對值大，則計算結果的符號位為0，反之則為1，結果中的數值應該是用絕對值大得減去絕對值小的即為正確結果。如3-5的計算過程應該是：由于3<5,所以結果為負，符號位為1,5-3=2，所以結果為-2。如果是這樣的計算過程，計算機應該設計絕對值比較電路，并且設計減法電路。很顯然，這會極大地增加電路設計的成本，并且增加運行中的功耗。
反碼
為了應對原碼計算中的問題，有人發現反碼可以解決一些問題。首先，我們看反碼的定義：
正數的反碼與原碼一樣，負數的反碼為：符號位取1，數值部分按位取反。
如-5可表示為(11111010)2。 這樣，上例中的計算似乎可以順利解決了
3 - 5 = 3 + (-5) = (00000011)2 + (11111010)2 = (11111101) 2 = (-2)10，結果正確，ok了嗎？
那我們再看下面一個例子：-3 - 5 = -3 + （-5）
-3 + (-5) = (11111100)2 + (11111010)2 = (11110110)2 = -9
其結果顯然是錯誤的，即當符號位存在進位時，其結果不正確。那結果是否可以修正呢？還是看-3 + （-5），我們看其演化過程，如果符號位的進位不丟掉，則結果為：
-3 + (-5) = (11111100)2 - (11111010)2 = (111110110)2
如果此時，我們將符號位進位加到最后一位，這結果變為(11110111)2=-8。也就是說，補碼運算允許符號位參與運算，但是，當符號位存在進位時，我們需要對符號位進行修正，將進位加到計算結果的最后一位，修正得到正確結果。但是，這樣同樣需要設計判斷符號位是否存在的電路？
另外，在反碼中，也沒有解決0=+0=-0的二義性問題。
補碼
為此，又有人根據模運行的規律，提出了補碼的規則。首先，我們看補碼的定義是什么？
正數的補碼與原碼相同，負數的補碼為：符號位取1，數值部分為真值取反，然后再加1，即[Y]補=2n+Y，這里Y是整數, 2n為模M
如-3=(11111101)2, 0=-0=(11111111+1)2=(00000000)2 = +0，即對于0的問題，補碼將+0和-0統一起來了，解決了關于0的二義性問題。
接著我們看3-5和-3-5兩個計算的問題
3-5=3+(-5)= (00000011)2 + (11111011)2 = (11111110)2 = -2
-3-5=(11111101)2 + (11111011)2 = (11111000)2 = -8
即補碼中的符號位參與運算，完美地解決了原碼中和補碼中存在的問題。那為什么補碼能正確解決這些問題呢？下面我們給出一般的證明。
為什么補碼能正確進行計算
要證明補碼為什么能正確進行加法運算，其實需要證明：[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補
證明：
1）若X > 0, Y > 0, 這X+Y > 0,且X=[X]補, Y = [Y]補,所以[X+Y]補 = [X]補 + [Y]補；
2）若X > 0, Y < 0, 則X=[X]補， [Y]補=M+Y(mod M)，所以[X]補 + [Y]補=M+X+Y，這里需要討論兩種情況：a）若X+Y>=0, 則M可舍掉， [X]補 + [Y]補 = M+X+Y = [X+Y]補;b）若X+Y < 0,由補碼定義， [X]補 + [Y]補 = M+X+Y = [X+Y]補
3）若X < 0, Y > 0, 同2）
4）若X < 0, Y < 0, 則X+Y < 0. [X]補 = M + X (mod M), [Y]補 = M + Y (mod M), [X]補+[Y]補= M + X + M + Y = M + (M + X + Y) = M + [X+Y]補 = [X + Y]補(mod M)
后面這段證明，感興趣的童鞋要好好體會，這個才是正確理解補碼運算的關鍵。
