有理數該如何引入?



思考

【?何為“有理數 ”】

七年級第一章課程內容為《有理數》,記得暑期大教研之時,我將我整理的腦圖和上課思路展示在各位老師的面前時,干老師突然問:“什么是有理數?你這開端就有問題。”

我當時自信滿滿地說:“整數和分數統稱為有理數,課本第一章就是這么安排的,哪里有什么問題呢?”

干老師又問:“整數和分數本來就存在的,干嘛又要叫有理數呢?再者你把小數置于何地?”

我猜測:“是不是因為負數的出現呢?負數出現后數系就擴大到了有理數范圍?”

干老師說:“不是,如果按照這樣的流程走下去,孩子們永遠不會明白什么是有理數,有理數到底是怎么產生的。這樣和傳統的灌輸式教育就沒有什么區別了,就喪失了我們所做教育的本質了。”

那到底何為有理數呢?

難道不是整數和分數統稱為有理數嗎?

?可這樣小數該怎么處理呢?

被干老師一逼問,這些習焉不察的問題突然暴露在了我的面前,讓我認識到了我設計的不足和弊端。

干老師說得沒錯:如果這樣下去,孩子們也會和我一樣,自始至終不會真正地明白什么是有理數,有理數是怎么產生的。

經過漫長的思考和不斷的教研打磨,我逐漸明確了思路。

首先就是要搞清楚何為“有理數”。

有理數的產生,是數系擴充的必然結果,是人類文明發展所導致的,具有數系擴充的一致性。

《道德經》有云“有無相生”,有理數的出現必定和無理數的出現是是相關聯的,是同時被命名的。但在有理數被命名之前,并不代表后期被歸類為有理數的數不存在,例如:“1、2、3.22”等分數、整數,它們本來就存在。但是在未被命名為有理數的時候,它們就不是有理數,正所謂“無名,天地之始;有名,萬物之母”也。

但如果這樣給學生進行展示,未免太過于唐突,知識的整體性也無法體現。因此,要帶領孩子們一起穿越整個實數范圍的數系發展過程,在感知數與計數、自然數、分數、小數以及到有理數的產生中逐步延伸、梳理清目前為止數的基本框架。讓學生自己在腦海里面建構起“為什么整數和分數統稱為有理數”等概念。

【數和計數的發展】

遠古時期的人類在生活中遇到了許多無法解決的困難:原始人為了生存,他們在長期的狩獵和食物分配中逐漸出現了“有”和“無”的概念,以后逐漸形成“多”與“少”的概念,然后在對比中出現了“1”與“多”的區別,隨著時間的推移慢慢地產生了數的概念。當時人們的認知里,超過3的物體都是“許多”。

這是我們認知的潛意識的直觀性:超過3個的物體,我們都要通過內心的數數或者計算來確定;而小于等于3個的物體,我們可以直觀地進行判斷。

我國偉大的哲學家在闡述“宇宙生成論”時就說:“道生一,一生二,二生三,三生萬物”,大致就是這個意思。

而“4”以及“5、6、7……”等每一個數的產生,都是一個歷史性的時刻。

在存儲、交換中,需要數數和比較,則需要記錄數量,此時則產生計數,計數的過程經歷了手指計數——實物計數——刻痕技術(初步符號計數)——符號計數等一個漫長的過程。

遠古時期的計數方式
數碼符號表(圖片來自網絡)

中國的籌算:用竹制的小棍,也有骨制的。按規定的橫豎長短順序擺好,就可用來記數和進行運算。

古代的算籌

【自然數的產生】

最初不論在哪個地區,數的概念都是從1、2、3、4……這樣的自然數開始的,但是計數的符號卻各不相同。


【補充內容】

1..古羅馬數字

? ?古羅馬的數字相當進步,現在許多老式掛鐘上還常常使用。I(代表1)、V(代表5)、X(代表10)、L(代表50)、C代表100)、D(代表500)、M(代表1000)。如果你細心觀察的話,會發現羅馬數字中沒有“0”。其實在公元5世紀時,“0”已經傳入羅馬,但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何人使用"0"。有一位羅馬學者在筆記中記載了關于使用"0"的一些好處和說明,就被教皇召去,施行了拶(zan)刑,使他再也不能握筆寫字。?

2..阿拉伯數字并不是阿拉伯人發明的

? ? 阿拉伯數字是印度人在公元六世紀左右創造的,之后流傳到阿拉伯,后人誤認為是阿拉伯人發明,故稱之為“阿拉伯數字”。由于它們便于書寫,被沿用至今。

3.“魔鬼數字”—“0”

? ? 由于一些原因,在引入“0”符號到西方時,曾經引起西方人的困惑, 因當時西方認為0這個數字會使很多算式,邏輯不能成立(如除以0),甚至認為0是魔鬼數字,而被禁用.例如羅馬數字中就沒有0;直至約公元15,16世紀“0”才逐漸被西方人所認同,一度被認為是“魔鬼數字”的它被接受后才使西方數學有快速發展。

? ? 中國人認可0要比西方早上千年, “零”的概念出現比較早(中西方都如此),最初人們在記數和計算時,由于需要記錄和計算的東西越來越多,逐漸產生了位值制記數法,由于這種記數法的產生,在表示“沒有”和“空位”時就產生了初步的“零”的概念。

? ?值得提出的是,中文中的“零”最初并不表示“空無所有”,只表示“零碎”、“不多”的意思。隨著阿拉數字的引進。“零”字與“0”恰好對應,因此,“零”也就具有了“0”的含義。

以上所說的數都是自然而然產生的數,被名為“自然數”(除了0,0被視為自然數是在非常晚的,我國在1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》中才規定自然數包括0。即一個物體也沒有,用0表示。0也是自然數。),此時此刻的數只指自然數。

數皆為自然數

【分數的產生】

分數的概念

隨著生產的發展,在分物的時候,由于人數和物體不能進行一一對應的匹配,出現物少人多且要進行公平分配時,往往不能正好得到整數的結果,也就產生了自然數不能進行表述的矛盾;以及在土地測量、天文觀測、土木建筑、水利工程等活動中,都需要進行測量.在測量過程中,常常會發生度量不盡的情況,如果要更精確地度量下去,就必然產生自然數不夠用的矛盾。二者結合的促使下,分數就應運而生(分物和測量促使分數產生的前后,誰先誰后不能定奪,個人認為分物應該在前)。

據數學史書記載,三千多年前埃及紙草書中已經記有關于分數的問題.而我國在2000多年前,也有了分數,只是那個時候的分數的表現形式與現在的不一樣而已。

值得一提的是當時的印度也出現了和我國相似的分數表示法。引進分數,這是數的概念的第一次擴展。在整個歷史長河中分數也起到了非常重要的作用,開始人們只使用簡單的分數,如一半,一半的一半等,后來才逐漸出現了三分之一,三分之二等簡單的分數,經過漫長的歷史演變,直到阿拉伯人發明了分數線后,逐漸形成今天分數的表示法。

由分物、測量產生分數?

【小數的產生】

小數的概念

小數的產生是精確度的細化導致的,目前的小數的定義中明確說明了小數屬于十進制分數,是實數的一種特殊表現形式。

在眾多計數制度中,十進位值制計數起到了非常重要的作用,小數則是十進制的在整數范圍的反方向延伸,在實際度量和整數運算(如除法、開方)的時候【這樣有理數和無理數中的小數就具有了統一性】,對計算及度量精度的要求逐漸提高。

反映在數學上,就是對數量表示的精確度的要求越來越高.。

開始,人類只能用整數表示數量,繼而在所表示的數量的末尾附注“有余”、“有奇”或“強”、“弱”等字樣,以表示該數量與實際量之間的差異,當需要用數來比較精確地表明這種差異的時候,就逐漸形成了兩種表示方法:一種是用分數來表示不足整數的剩余部分【分數小數同時產生,相輔相成,但又相互獨立】;另一種是發展度量衡系統,采用更小的度量衡單位來表示有關的量,如劉徽在注解《九章算術》時,長度的記法采用的單位是:丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽,“忽”是最小的單位,在計算中他把“忽”作為單位,以下那些沒有明確單位的數就是小數,劉徽稱作“徽數”。劉徽是目前記載中最早使用小數的人,不管小數怎樣進行發展,都沒有脫離十進制的規則,而且逐漸進行完善,直到十九世紀末期,才形成現在這樣用小數點進行表述小數的計數法【備注:在無理數出現前小數都是可以轉化為分數的形式,無限循環小數也可以轉化為分數】。

到目前為止,數系的擴充到了整數和分數,區分的標準就是是否被分,完整的、未被分割的數就是整數,被分開的數根據應用的不同場景分別是分數和小數(此時的小數可統一為分數)。

課件展示內容

【負數】

負數的概念

負數的產生和“0”的產生一樣,在西方人的眼里一度被認為是一個魔鬼數字,與當時的教義理念完全不相符,在我們的實際生活中也無法直觀的感觸到,所以讓人一度無法接受。

但是它的出現卻和我們的生活實踐所契合。

一方面在我們的生活中經常遇到表述一些具有相反意義的量,如收入與支出、盈利與虧損、上升與下降等。

另一方面在數的運算中,經常會遇到例如“3?– 4 =?”這樣的難題,這樣就出現了現有的數(自然數、分數、小數)不夠用的矛盾。

于是就產生了負數。當負數的概念產生的哪一刻,也就有了正數的概念。正數與負數形成了具有相反意義的兩個數。

我國是最早使用并認可負數的國家

負數的產生,使數具有了正負性,而0則作為正負數的分界線,將數系擴充為正數、0和負數。

課件展示內容

【第一次數學危機】

數的擴充到上述為止,好像已經完美了,自然界的一切場景和現象都可以用這些數進行公度,但數學史上的一大危機的出現,改變了人們的看法。

偉大的數學家畢達哥拉斯的徒弟-希帕索斯,在應用勾股定理c2=a2+b2求邊長為1正方形的對角線的長度時,遇到了困難,他無法確定這個數到底是多少?

數學家畢達哥拉斯和徒弟希帕索斯(圖片來自網絡)

因為在當時人們的認知中,所有的數都是可數的,認為“1是所有數的生成元”,但是通過反證法證明,這樣的數確實符合實際理論。當希帕索斯將這偉大的發現告訴它的老師畢達哥拉斯時,得到的不是肯定,而是殺身之禍,因為他的發現與畢氏學派“萬物皆為數”(指有理數)的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒,認為這將動搖他們在學術界的統治地位。希勃索斯因此被囚禁,受到百般折磨,最后竟遭到沉舟身亡的懲處。

但真理是不會被無理的行為所埋沒的,越來越多的人發現了類似于上述的數字,后來,人們為了紀念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學者,也為了警示畢氏學派的“無理”行為,就把不可通約的量取名為“無理數”。從無理數的命名開始,數又進行新一步的擴充,形成了實數系。將原來所有的整數和分數統稱為“有理數”,新出現的數則是“無理數”。

所以數也就有了無理數和有理數之分。

而有理數,則根據定義和性質可以分類如下:

?有理數的分類

需要給孩子們明確的是無理數的幾種情況,以免與有理數有所混淆:


無理數的幾種情況

通過這樣的設計下來,和學生在課堂上共同感知、共同歸納,逐步深入、引出有理數,雖然不是很深,但在學生的認知中形成了層次感和建立了數的基本系統。這樣一來,學生既了解了有理數產生的過程,也掌握了什么是有理數(即分類)。

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