【?何為“有理數 ”】
七年級第一章課程內容為《有理數》，記得暑期大教研之時，我將我整理的腦圖和上課思路展示在各位老師的面前時，干老師突然問：“什么是有理數？你這開端就有問題。”
我當時自信滿滿地說：“整數和分數統稱為有理數，課本第一章就是這么安排的，哪里有什么問題呢？”
干老師又問：“整數和分數本來就存在的，干嘛又要叫有理數呢？再者你把小數置于何地？”
我猜測：“是不是因為負數的出現呢？負數出現后數系就擴大到了有理數范圍？”
干老師說：“不是，如果按照這樣的流程走下去，孩子們永遠不會明白什么是有理數，有理數到底是怎么產生的。這樣和傳統的灌輸式教育就沒有什么區別了，就喪失了我們所做教育的本質了。”
那到底何為有理數呢？
難道不是整數和分數統稱為有理數嗎？
?可這樣小數該怎么處理呢？
被干老師一逼問，這些習焉不察的問題突然暴露在了我的面前，讓我認識到了我設計的不足和弊端。
干老師說得沒錯：如果這樣下去，孩子們也會和我一樣，自始至終不會真正地明白什么是有理數，有理數是怎么產生的。
經過漫長的思考和不斷的教研打磨，我逐漸明確了思路。
首先就是要搞清楚何為“有理數”。
有理數的產生，是數系擴充的必然結果，是人類文明發展所導致的，具有數系擴充的一致性。
《道德經》有云“有無相生”，有理數的出現必定和無理數的出現是是相關聯的，是同時被命名的。但在有理數被命名之前，并不代表后期被歸類為有理數的數不存在，例如：“1、2、3.22”等分數、整數，它們本來就存在。但是在未被命名為有理數的時候，它們就不是有理數，正所謂“無名，天地之始；有名，萬物之母”也。
但如果這樣給學生進行展示，未免太過于唐突，知識的整體性也無法體現。因此，要帶領孩子們一起穿越整個實數范圍的數系發展過程，在感知數與計數、自然數、分數、小數以及到有理數的產生中逐步延伸、梳理清目前為止數的基本框架。讓學生自己在腦海里面建構起“為什么整數和分數統稱為有理數”等概念。
【數和計數的發展】
遠古時期的人類在生活中遇到了許多無法解決的困難：原始人為了生存，他們在長期的狩獵和食物分配中逐漸出現了“有”和“無”的概念，以后逐漸形成“多”與“少”的概念，然后在對比中出現了“1”與“多”的區別,隨著時間的推移慢慢地產生了數的概念。當時人們的認知里，超過3的物體都是“許多”。
這是我們認知的潛意識的直觀性：超過3個的物體，我們都要通過內心的數數或者計算來確定；而小于等于3個的物體，我們可以直觀地進行判斷。
我國偉大的哲學家在闡述“宇宙生成論”時就說：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，大致就是這個意思。
而“4”以及“5、6、7……”等每一個數的產生，都是一個歷史性的時刻。
在存儲、交換中，需要數數和比較，則需要記錄數量，此時則產生計數，計數的過程經歷了手指計數——實物計數——刻痕技術（初步符號計數）——符號計數等一個漫長的過程。
中國的籌算：用竹制的小棍，也有骨制的。按規定的橫豎長短順序擺好，就可用來記數和進行運算。
【自然數的產生】
最初不論在哪個地區，數的概念都是從1、2、3、4……這樣的自然數開始的，但是計數的符號卻各不相同。
【補充內容】
1..古羅馬數字
? ?古羅馬的數字相當進步，現在許多老式掛鐘上還常常使用。I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1000）。如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有“0”。其實在公元5世紀時，“0”已經傳入羅馬，但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何人使用"0"。有一位羅馬學者在筆記中記載了關于使用"0"的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶(zan)刑，使他再也不能握筆寫字。?
2..阿拉伯數字并不是阿拉伯人發明的
? ? 阿拉伯數字是印度人在公元六世紀左右創造的，之后流傳到阿拉伯，后人誤認為是阿拉伯人發明，故稱之為“阿拉伯數字”。由于它們便于書寫，被沿用至今。
3.“魔鬼數字”—“0”
? ? 由于一些原因，在引入“0”符號到西方時，曾經引起西方人的困惑， 因當時西方認為0這個數字會使很多算式，邏輯不能成立(如除以0)，甚至認為0是魔鬼數字，而被禁用.例如羅馬數字中就沒有0；直至約公元15，16世紀“0”才逐漸被西方人所認同，一度被認為是“魔鬼數字”的它被接受后才使西方數學有快速發展。
? ? 中國人認可0要比西方早上千年， “零”的概念出現比較早（中西方都如此），最初人們在記數和計算時，由于需要記錄和計算的東西越來越多，逐漸產生了位值制記數法，由于這種記數法的產生，在表示“沒有”和“空位”時就產生了初步的“零”的概念。
? ?值得提出的是，中文中的“零”最初并不表示“空無所有”，只表示“零碎”、“不多”的意思。隨著阿拉數字的引進。“零”字與“0”恰好對應，因此，“零”也就具有了“0”的含義。
以上所說的數都是自然而然產生的數，被名為“自然數”（除了0，0被視為自然數是在非常晚的，我國在1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》中才規定自然數包括0。即一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。），此時此刻的數只指自然數。
【分數的產生】
隨著生產的發展，在分物的時候，由于人數和物體不能進行一一對應的匹配，出現物少人多且要進行公平分配時，往往不能正好得到整數的結果，也就產生了自然數不能進行表述的矛盾；以及在土地測量、天文觀測、土木建筑、水利工程等活動中，都需要進行測量．在測量過程中，常常會發生度量不盡的情況，如果要更精確地度量下去，就必然產生自然數不夠用的矛盾。二者結合的促使下，分數就應運而生（分物和測量促使分數產生的前后，誰先誰后不能定奪，個人認為分物應該在前）。
據數學史書記載，三千多年前埃及紙草書中已經記有關于分數的問題．而我國在2000多年前，也有了分數，只是那個時候的分數的表現形式與現在的不一樣而已。
值得一提的是當時的印度也出現了和我國相似的分數表示法。引進分數，這是數的概念的第一次擴展。在整個歷史長河中分數也起到了非常重要的作用，開始人們只使用簡單的分數，如一半，一半的一半等，后來才逐漸出現了三分之一，三分之二等簡單的分數，經過漫長的歷史演變，直到阿拉伯人發明了分數線后，逐漸形成今天分數的表示法。
【小數的產生】
小數的產生是精確度的細化導致的，目前的小數的定義中明確說明了小數屬于十進制分數，是實數的一種特殊表現形式。
在眾多計數制度中，十進位值制計數起到了非常重要的作用，小數則是十進制的在整數范圍的反方向延伸，在實際度量和整數運算(如除法、開方)的時候【這樣有理數和無理數中的小數就具有了統一性】，對計算及度量精度的要求逐漸提高。
反映在數學上，就是對數量表示的精確度的要求越來越高.。
開始，人類只能用整數表示數量，繼而在所表示的數量的末尾附注“有余”、“有奇”或“強”、“弱”等字樣，以表示該數量與實際量之間的差異，當需要用數來比較精確地表明這種差異的時候，就逐漸形成了兩種表示方法：一種是用分數來表示不足整數的剩余部分【分數小數同時產生，相輔相成，但又相互獨立】；另一種是發展度量衡系統，采用更小的度量衡單位來表示有關的量，如劉徽在注解《九章算術》時，長度的記法采用的單位是：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，“忽”是最小的單位，在計算中他把“忽”作為單位，以下那些沒有明確單位的數就是小數，劉徽稱作“徽數”。劉徽是目前記載中最早使用小數的人，不管小數怎樣進行發展，都沒有脫離十進制的規則，而且逐漸進行完善，直到十九世紀末期，才形成現在這樣用小數點進行表述小數的計數法【備注：在無理數出現前小數都是可以轉化為分數的形式，無限循環小數也可以轉化為分數】。
到目前為止，數系的擴充到了整數和分數，區分的標準就是是否被分，完整的、未被分割的數就是整數，被分開的數根據應用的不同場景分別是分數和小數（此時的小數可統一為分數）。
【負數】
負數的產生和“0”的產生一樣，在西方人的眼里一度被認為是一個魔鬼數字，與當時的教義理念完全不相符，在我們的實際生活中也無法直觀的感觸到，所以讓人一度無法接受。
但是它的出現卻和我們的生活實踐所契合。
一方面在我們的生活中經常遇到表述一些具有相反意義的量，如收入與支出、盈利與虧損、上升與下降等。
另一方面在數的運算中，經常會遇到例如“3?– 4 =？”這樣的難題，這樣就出現了現有的數（自然數、分數、小數）不夠用的矛盾。
于是就產生了負數。當負數的概念產生的哪一刻，也就有了正數的概念。正數與負數形成了具有相反意義的兩個數。
負數的產生，使數具有了正負性，而0則作為正負數的分界線，將數系擴充為正數、0和負數。
【第一次數學危機】
數的擴充到上述為止，好像已經完美了，自然界的一切場景和現象都可以用這些數進行公度，但數學史上的一大危機的出現，改變了人們的看法。
偉大的數學家畢達哥拉斯的徒弟-希帕索斯，在應用勾股定理c2=a2+b2求邊長為1正方形的對角線的長度時，遇到了困難，他無法確定這個數到底是多少？
因為在當時人們的認知中，所有的數都是可數的，認為“1是所有數的生成元”，但是通過反證法證明，這樣的數確實符合實際理論。當希帕索斯將這偉大的發現告訴它的老師畢達哥拉斯時，得到的不是肯定，而是殺身之禍，因為他的發現與畢氏學派“萬物皆為數”(指有理數)的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。
但真理是不會被無理的行為所埋沒的，越來越多的人發現了類似于上述的數字，后來，人們為了紀念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學者,也為了警示畢氏學派的“無理”行為，就把不可通約的量取名為“無理數”。從無理數的命名開始，數又進行新一步的擴充，形成了實數系。將原來所有的整數和分數統稱為“有理數”，新出現的數則是“無理數”。
所以數也就有了無理數和有理數之分。
而有理數，則根據定義和性質可以分類如下：
需要給孩子們明確的是無理數的幾種情況，以免與有理數有所混淆：
通過這樣的設計下來，和學生在課堂上共同感知、共同歸納，逐步深入、引出有理數，雖然不是很深，但在學生的認知中形成了層次感和建立了數的基本系統。這樣一來，學生既了解了有理數產生的過程，也掌握了什么是有理數（即分類）。
