題目：
給定一個長度為N的整數數組，只允許用乘法不允許用除法，計算N-1個數組合的乘積最大的一組，并寫出算法的時間復雜度。
方法一：
最簡單的計算就是把所有N-1個數的組合全找出來，共有C(N, N-1) = N 種情況，所以算法的復雜度為Ο(N2)。
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
using namespace std;
long long LevelOne(const int *d, unsigned int n)
{
long long ret;
long long max;
int i, j;
for(i=0; i<n; i++)
{
for(j=0, ret=1; j<n; j++)
{
ret *= ((i==j) ? 1 : d[j]);
if(ret == 0) break;
}
max = (i==0 ? ret : max);
max = (max<=ret ? ret : max);
}
return max;
}
int main()
{
const int maxsize = 10;
int data[maxsize];
long long max;
srand(time(NULL));
for(int i=0; i<maxsize; i++)
data[i] = ((rand()%10<2) ? -1:1) * (rand()%10);
for(int i=0; i<maxsize; i++)
cout<<data[i]<<" ";
cout<<endl;
max = LevelOne(data, maxsize);
cout<<"max: "<<max<<endl;
return 0;
}
方法二：
對于數組A[N],假設這樣思考假設去除第i個元素的乘積可以表示為A[0]*A[1]*…A[i-1] * A[i+1]*A[i+2]*…A[N-1]，則可以寫出如下算法滿足復雜度為Ο(N)。
1.算出A[0]~A[N-1]，N個元素的乘積賦值給M
2.定義變量i=N-1, R=1,和數組p[N]
3.如果i==0 p[0] = A[0] 返回
4.如果i>=0 重復步驟5
5.M /= A[i]; p[i] = M*R; R *= A[i] 但是本算法使用了除法，而規定不允許，所以可以做個小的調整。設f[i]=A[0]*A[1]*…A[i], r[i]=A[i]*A[i+1]*…A[N]則p[i] = f[i-1]*r[i+1]。
long long LevelTwo(const int *d, unsigned int n)
{
int *f = new int [n];
int *r = new int [n];
long long *p = new long long [n];
long long max;
assert(f!=0 && r!=0 && p!=0);
long long fv=1, rv=1;
for(int i=0; i<n; i++)
{
int j = n-i-1;
fv *= d[i];
rv *= d[j];
f[i] = fv;
r[j] = rv;
}
max = p[0] = r[1];
for(int i=1; i<n; i++)
{
p[i] = f[i-1] * r[i+1];
max = max<p[i] ? p[i] : max;
}
delete [] f;
delete [] r;
delete [] p;
return max;
}
方法三：
雖然以上算法已經將復雜度降到了Ο(N)了，但還是可以進一步減少計算量。子數組最大乘積問題可以分為以下幾種情況。
1.數組中有多于一個零則最大乘積為0；
2.數組中只有一個零，而有奇數個負數，則最大乘積必定為0；
3.數組中只有一個零，而有偶數個負數，則最大乘積為除去0的元素的乘;
4.數組中沒有零，而有奇數個負數，則最大乘積為除去絕對值最小的負數的乘積;
5.數組中沒有零，而有偶數個負數，則最大乘積為除去最小的正數的乘積。
long long LevelThree(int *d, int n)
{
int n_zero = 0;
int n_neg = 0;
int maxneg = 0;
int minpos = 0;
int maxnegi = 0;
int minposi = 0;
int zeroi = 0;
int out;
long long max = 1;
for(int i=0; i<n; i++)
{
if(d[i] < 0)
{
n_neg++;
if(maxneg == 0)
{
maxneg = d[i];
maxnegi = i;
}
else if(maxneg<d[i])
{
maxneg = d[i];
maxnegi = i;
}
}
else if(d[i] == 0)
{
zeroi = i;
if(++n_zero>1) return 0;
}
else
{
if(minpos == 0)
{
minpos = d[i];
minposi = i;
}
else if(minpos > d[i])
{
minpos = d[i];
minposi = i;
}
}
}
if(n_zero==1 && n_neg%2==1)
{
return 0;
}
else if(n_zero==1 && n_neg%2==0)
{
out = zeroi;
}
else if(n_zero==0 && n_neg%2==1)
{
out = maxnegi;
}
else if(n_zero==0 && n_neg%2==0)
{
out = minposi;
}
for(int i=0; i<n; i++)
{
max *= (i==out)?1:d[i];
}
return max;
}