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棋盤覆蓋問題

問題描述

在一個(gè)2^k * 2^k個(gè)方格組成的棋盤中，有一個(gè)方格與其它的不同，若使用以下四種L型骨牌覆蓋除這個(gè)特殊方格的其它方格，如何覆蓋。四個(gè)L型骨牌如下圖：

L型骨牌

棋盤中的特殊方格如圖：

棋盤

????????實(shí)現(xiàn)的基本原理是將 2^k x 2^k 的棋盤分成四塊 2^(k-1) x 2^(k-1)的子棋盤，特殊方格一定在其中的一個(gè)子棋盤中，如果特殊方格在某一個(gè)子棋盤中，繼續(xù)遞歸處理這個(gè)子棋盤，直到這個(gè)子棋盤中只有一個(gè)方格為止如果特殊方格不在某一個(gè)子棋盤中，將這個(gè)子棋盤中的相應(yīng)的位置設(shè)為骨牌號(hào)，將這個(gè)無特殊方格的了棋盤轉(zhuǎn)換為有特殊方格的子棋盤，然后再遞歸處理這個(gè)子棋盤。以上原理如圖所示：

存在一個(gè)方格

棋盤覆蓋程序如下：

//2d6 棋盤覆蓋問題
#include "stdafx.h"
#include <iostream>     
using namespace std; 

int tile = 1;//全局變量 骨牌編號(hào)
int Board[4][4];//棋盤
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size);

int main()
{
    for(int i=0; i<4; i++)
    {
        for(int j=0; j<4; j++)
        {
            Board[i][j] = 0;
        }
    }

    ChessBoard(0,0,2,3,4);

    for(int i=0; i<4; i++)
    {
        for(int j=0; j<4; j++)
        {
            cout<<Board[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }
}

/**
 * tr : 棋盤左上角的行號(hào)，tc棋盤左上角的列號(hào)
 * dr : 特殊方格左上角的行號(hào)，dc特殊方格左上角的列號(hào)
 * size ：size = 2^k 棋盤規(guī)格為2^k*2^k
 */
void ChessBoard(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)
{
    if(size == 1)
    {
        return;
    }
    int t = tile++;//L型骨牌編號(hào)
    int s = size/2;//分割棋盤

    //覆蓋左上角子棋盤
    if(dr<tr+s && dc<tc+s)//特殊方格在此棋盤中
    {
        ChessBoard(tr,tc,dr,dc,s);
    }
    else//特殊方格不在此棋盤中
    {
        //用編號(hào)為t的骨牌覆蓋右下角
        Board[tr+s-1][tc+s-1] = t;
        //覆蓋其余方格
        ChessBoard(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
    }

    //覆蓋右上角子棋盤
    if(dr<tr+s && dc>=tc+s)//特殊方格在此棋盤中
    {
        ChessBoard(tr,tc+s,dr,dc,s);
    }
    else//特殊方格不在此棋盤中
    {
        //用編號(hào)為t的骨牌覆蓋左下角
        Board[tr+s-1][tc+s] = t;
        //覆蓋其余方格
        ChessBoard(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
    }

    //覆蓋左下角子棋盤
    if(dr>=tr+s && dc<tc+s)//特殊方格在此棋盤中
    {
        ChessBoard(tr+s,tc,dr,dc,s);
    }
    else//特殊方格不在此棋盤中
    {
        //用編號(hào)為t的骨牌覆蓋右上角
        Board[tr+s][tc+s-1] = t;
        //覆蓋其余方格
        ChessBoard(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
    }

    //覆蓋右下角子棋盤
    if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)//特殊方格在此棋盤中
    {
        ChessBoard(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
    }
    else//特殊方格不在此棋盤中
    {
        //用編號(hào)為t的骨牌覆蓋左上角
        Board[tr+s][tc+s] = t;
        //覆蓋其余方格
        ChessBoard(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
    }

}

程序運(yùn)行結(jié)果如下：

輸出結(jié)果

思考

第一步(尋求最小的求解) :

2x2

當(dāng)只有2x2時(shí)，剛好一個(gè)L型骨牌 + 特殊方格(任意4個(gè)角都可) 。可是暫時(shí)看不到如何擴(kuò)張，所以得考慮4x4的模型。

4x4

棋盤

1.可以分割成4 個(gè) 2x2，分別為左上角，右上角，左下角和右下角。
2.右上角可以直接用2x2情況求解，可是其他3塊2x2右得按什么 有序步驟 求解？
既然是分治法必然會(huì)用到遞歸，那么大問題必然分解為N個(gè)重復(fù)可解的小問題(當(dāng)然小問題的類型個(gè)數(shù)要可控,一般為1到4個(gè))

數(shù)學(xué)模型：

g(x) = af₁(x) + bf₂(x) + cf₃(x) + df₄(x)， 其中f_i(x)為可解的小問題，a,b,c,d為小問題重復(fù)的次數(shù)

根據(jù)公式，我們可以
1.先找各f(x)
2.將f(x)相加成g(x)

1.現(xiàn)階段我們已經(jīng)分解為2個(gè)小問題:

f₁(x) ：存在特殊方格的2x2棋盤的求解
f₂(x) : 3個(gè)沒有特殊方格的2x2棋盤的求解

2. 當(dāng)然f₁(x)已經(jīng)解決，接著考慮f₂(x)。

2.1 考慮f₁(x)在4x4的左上角

f2(x)

2.2 考慮f₁(x)在4x4的其他角落塊，同2.1。

第一步 結(jié)尾

那么此時(shí)我們已經(jīng)找到了f(x)并都得到了有序解步驟:
f₁(x) ：存在特殊方格的2x2棋盤的求解
f₂(x) : 3個(gè)沒有特殊方格的2x2棋盤的求解

第二步(組合f(x)來求解g(x)) :

我們將f(x)來接下 8x8時(shí)的情況：
分解成4塊4x4，存在特殊方格的4x4棋盤同第一步分析求解，可是其他3塊4x4不能分解成f₂(x) ,所以現(xiàn)在的f₁(x) 和f₂(x)不滿足，從新第一步，求f(x)

重復(fù)第一步 :

觀察現(xiàn)有的f₁(x) 和f₂(x)
f₁(x) 無法更改
f₂(x) 可考慮。同時(shí)在8x8中也是f₂(x)不滿足，那么我們得出一套滿足各2^k x 2^k有序解步驟

其實(shí)有2個(gè)解決口：
1.將f₂(x)步驟顛倒試試
2.在2^k x 2^k中分解的每個(gè)2^(k-1) x 2^(k-1)棋盤必然應(yīng)該是相同操作的，那么得出每個(gè)2x2棋盤也應(yīng)該是同f₁(x)，那么就是給沒有特殊方格的2x2棋盤各個(gè)一個(gè)特殊方塊(同時(shí)3個(gè)特殊方塊也可以組成一個(gè)L型骨牌)

新的f(x)
f₁(x) ：存在特殊方格的2x2棋盤的求解
f₂(x) : 3個(gè)沒有特殊方格的2x2棋盤各給一個(gè)特殊方塊(同時(shí)3個(gè)特殊方塊也可以組成一個(gè)L型骨牌)，變成f₁(x)的求解

f₂(x) =f₃(x) + 3 *f₁(x)

f₃(x) : 3個(gè)沒有特殊方格的2x2棋盤各給一個(gè)特殊方塊(同時(shí)3個(gè)特殊方塊也可以組成一個(gè)L型骨牌)

進(jìn)入第二步

進(jìn)行歸納法

先證明4x4依據(jù)2x2可解，再證明2^k x 2^k 的棋盤依據(jù) 2^(k-1) x 2^(k-1)的棋盤可解得出f(x)滿足需求

那么遞歸項(xiàng)就是
f₁(x) +f₂(x) = f₁(x) +f₃(x) + 3 *f₁(x) = f₃(x) + 4 * f₁(x)
在f₁(x) 合并時(shí)，要將 f₃(x) 提前，因?yàn)橛? *f₁(x) 在 f₃(x) 后

接下來就可以根據(jù)有序的解步驟寫程序了