算法描述

基礎知識

+生成樹： 一個連通圖的生成樹是它的極小連通子圖，在n個頂點的情形下，有n-1條邊。生成樹是對連通圖而言的，是連通圖的極小連通子圖，包含途中所有頂點，有且僅有n-1條邊。非連通圖的生成樹則組成一個聲稱森林；若圖中有n個頂點，m個連通分量，則生成森林中有n-m條邊。
+圖的遍歷： 和樹的遍歷相似，若從圖中某頂點出發，訪問遍途中每個頂點，且每個頂點僅訪問一次，此過程稱為圖的遍歷。圖的遍歷算法是求解圖的連通性問題、拓撲排序和求關鍵路徑等算法的基礎。圖的常用遍歷順序有兩種：深度優先搜索（DFS）和廣度優先搜索（BFS），對每種搜索順序，訪問各頂點的順序也不是唯一的。
+在一個無向連通圖G中，其所有頂點和遍歷該圖經過的所有邊所構成的子圖G'，稱作圖G的生成樹。一個圖可以有多個生成樹，從不同的頂點除法，采用不同的遍歷順序，遍歷時所經過的邊也就不同。
+最小生成樹：在圖論中，常常將樹定義為一個無回路連通圖。對于一個帶權的無向連通圖，其每個生成樹所有邊上的權值之和可能不同，我們把所有邊上權值之和最小的生成樹成為圖的最小生成樹（MST）。
+MST性質：MST性質：假設G＝(V,E)是一個連通網，U是頂點V的一個非空子集。若(u,v)是一條具有最小權值的邊，其中u∈U，v∈V－U，則必存在一棵包含邊(u,v)的最小生成樹。

算法介紹

• 基本思想：假設G＝(V，E)是連通的，TE是G上最小生成樹中邊的集合。算法從U＝{u0}（u0∈V）、TE＝{}開始。重復執行下列操作：
• 在所有u∈U，v∈V－U的邊(u，v)∈E中找一條權值最小的邊(u0,v0)并入集合TE中，同時v0并入U，直到V＝U為止。此時，TE中必有n-1條邊，T=(V，TE)為G的最小生成樹。
• Prim算法的核心:始終保持TE中的邊集構成一棵生成樹。

題目

下圖所示的賦權圖表示某七個城市及預先算出它們之間的通信線路造價（單位：萬元），試給出一個設計方案，使得各城市之間既能夠通信又使總造價最小并計算其最小值.
編程求解以上問題（Kruslcal算法或Prim算法）

結果展示

代碼

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
// #include <malloc.h>
#include <string.h>

#define MAX    100                 // 矩陣最大容量
#define INF    (~(0x1<<31))        // 最大值(即0X7FFFFFFF)
#define isLetter(a) ((((a)>='a')&&((a)<='z')) || (((a)>='A')&&((a)<='Z')))
#define LENGTH(a)   (sizeof(a)/sizeof(a[0]))

// 鄰接矩陣
typedef struct _graph
{
    char vexs[MAX];       // 頂點集合
    int vexnum;           // 頂點數
    int edgnum;           // 邊數
    int matrix[MAX][MAX]; // 鄰接矩陣
}Graph, *PGraph;

/*
* 返回ch在matrix矩陣中的位置
*/
static int get_position(Graph g, char ch)
{
    int i;
    for (i = 0; i<g.vexnum; i++)
        if (g.vexs[i] == ch)
            return i;
    return -1;
}

/*
* 創建圖(自己輸入)
*/
Graph* create_graph()
{
    char c1, c2;
    int v, e;
    int i, j, weight, p1, p2;
    Graph* pG;

    // 輸入"頂點數"和"邊數"
    printf("input vertex number: ");
    scanf("%d", &v);
    printf("input edge number: ");
    scanf("%d", &e);
    if (v < 1 || e < 1 || (e >(v * (v - 1))))
    {
        printf("input error: invalid parameters!\n");
        return NULL;
    }

    if ((pG = (Graph*)malloc(sizeof(Graph))) == NULL)
        return NULL;
    memset(pG, 0, sizeof(Graph));

    // 初始化"頂點數"和"邊數"
    pG->vexnum = v;
    pG->edgnum = e;
    // 初始化"頂點"
    for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
    {
        printf("vertex(%d): ", i);
        pG->vexs[i] = getchar();
    }

    // 1. 初始化"邊"的權值
    for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
    {
        for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
        {
            if (i == j)
                pG->matrix[i][j] = 0;
            else
                pG->matrix[i][j] = INF;
        }
    }
    // 2. 初始化"邊"的權值: 根據用戶的輸入進行初始化
    for (i = 0; i < pG->edgnum; i++)
    {
        // 讀取邊的起始頂點，結束頂點，權值
        printf("edge(%d):", i);
        c1 = getchar();
        c2 = getchar();
        scanf("%d", &weight);

        p1 = get_position(*pG, c1);
        p2 = get_position(*pG, c2);
        if (p1 == -1 || p2 == -1)
        {
            printf("input error: invalid edge!\n");
            free(pG);
            return NULL;
        }

        pG->matrix[p1][p2] = weight;
        pG->matrix[p2][p1] = weight;
    }

    return pG;
}

/*
* 創建圖(用已提供的矩陣)
*/
Graph* create_example_graph()
{
    char vexs[] = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
    int matrix[][9] = {
        /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
        /*A*/{ 0, 20, INF, INF, INF, 23, 1 },
        /*B*/{ 20, 0, 15, INF, INF, INF, 4 },
        /*C*/{ INF, 15, 0, 3, INF, INF, 9 },
        /*D*/{ INF, INF, 3, 0, 17, INF, 16 },
        /*E*/{ INF, INF, INF, 17, 0, 28, 25 },
        /*F*/{ 23, INF, INF, INF, 28, 0, 36 },
        /*G*/{ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 0 } };
    int vlen = LENGTH(vexs);
    int i, j;
    Graph* pG;

    // 輸入"頂點數"和"邊數"
    if ((pG = (Graph*)malloc(sizeof(Graph))) == NULL)
        return NULL;
    memset(pG, 0, sizeof(Graph));

    // 初始化"頂點數"
    pG->vexnum = vlen;
    // 初始化"頂點"
    for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
        pG->vexs[i] = vexs[i];

    // 初始化"邊"
    for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
        for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
            pG->matrix[i][j] = matrix[i][j];

    // 統計邊的數目
    for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
        for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
            if (i != j && pG->matrix[i][j] != INF)
                pG->edgnum++;
    pG->edgnum /= 2;

    return pG;
}



/*
* 打印矩陣隊列圖
*/
void print_graph(Graph G)
{
    int i, j;

    printf("Martix Graph:\n");
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
            printf("%10d ", G.matrix[i][j]);
        printf("\n");
    }
}

/*
* prim最小生成樹
*
* 參數說明：
*       G -- 鄰接矩陣圖
*   start -- 從圖中的第start個元素開始，生成最小樹
*/
void prim(Graph G, int start)
{
    int min, i, j, k, m, n, sum;
    int index = 0;         // prim最小樹的索引，即prims數組的索引
    char prims[MAX];     // prim最小樹的結果數組
    int weights[MAX];    // 頂點間邊的權值

    // prim最小生成樹中第一個數是"圖中第start個頂點"，因為是從start開始的。
    prims[index++] = G.vexs[start];

    // 初始化"頂點的權值數組"，
    // 將每個頂點的權值初始化為"第start個頂點"到"該頂點"的權值。
    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
        weights[i] = G.matrix[start][i];
    // 將第start個頂點的權值初始化為0。
    // 可以理解為"第start個頂點到它自身的距離為0"。
    weights[start] = 0;

    for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
    {
        // 由于從start開始的，因此不需要再對第start個頂點進行處理。
        if (start == i)
            continue;

        j = 0;
        k = 0;
        min = INF;
        // 在未被加入到最小生成樹的頂點中，找出權值最小的頂點。
        while (j < G.vexnum)
        {
            // 若weights[j]=0，意味著"第j個節點已經被排序過"(或者說已經加入了最小生成樹中)。
            if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)
            {
                min = weights[j];
                k = j;
            }
            j++;
        }

        // 經過上面的處理后，在未被加入到最小生成樹的頂點中，權值最小的頂點是第k個頂點。
        // 將第k個頂點加入到最小生成樹的結果數組中
        prims[index++] = G.vexs[k];
        // 將"第k個頂點的權值"標記為0，意味著第k個頂點已經排序過了(或者說已經加入了最小樹結果中)。
        weights[k] = 0;
        // 當第k個頂點被加入到最小生成樹的結果數組中之后，更新其它頂點的權值。
        for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
        {
            // 當第j個節點沒有被處理，并且需要更新時才被更新。
            if (weights[j] != 0 && G.matrix[k][j] < weights[j])
                weights[j] = G.matrix[k][j];
        }
    }

    // 計算最小生成樹的權值
    sum = 0;
    for (i = 1; i < index; i++)
    {
        min = INF;
        // 獲取prims[i]在G中的位置
        n = get_position(G, prims[i]);
        // 在vexs[0...i]中，找出到j的權值最小的頂點。
        for (j = 0; j < i; j++)
        {
            m = get_position(G, prims[j]);
            if (G.matrix[m][n]<min)
                min = G.matrix[m][n];
        }
        sum += min;
    }
    // 打印最小生成樹
    printf("PRIM(%c)=%d: ", G.vexs[start], sum);
    for (i = 0; i < index; i++)
        printf("%c ", prims[i]);
    printf("\n");
}

int main()
{
    Graph* pG;

    // 自定義"圖"(輸入矩陣隊列)
    //pG = create_graph();
    // 采用已有的"圖"
    pG = create_example_graph();
    print_graph(*pG);       // 打印圖
    //DFSTraverse(*pG);       // 深度優先遍歷
    prim(*pG, 0);             // prim算法生成最小生成樹
    return 0;
}