8.15 Matplotlib 中的三維繪圖

原文：Three-Dimensional Plotting in Matplotlib

譯者：飛龍

協議：CC BY-NC-SA 4.0

本節是《Python 數據科學手冊》（Python Data Science Handbook）的摘錄。

Matplotlib 最初設計時只考慮了二維繪圖。在 1.0 版本發布時，一些三維繪圖工具構建在 Matplotlib 的二維顯示之上，結果是一組方便（但是有限）的三維數據可視化工具。通過導入mplot3d工具包來啟用三維繪圖，它包含在主要的 Matplotlib 安裝中：

from mpl_toolkits import mplot3d

導入子模塊后，可以通過將關鍵字projection ='3d'傳遞給任何普通軸域創建例程來創建三維軸域：

%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')

png

啟用此三維軸后，我們現在可以繪制各種三維繪圖。三維繪圖通過交互式查看圖形，而非靜態地在筆記本中查看圖形而獲益；回想一下，要使用交互式圖形，運行此代碼時可以使用%matplotlib notebook而不是%matplotlib inline。

三維的點和線

最基本的三維圖是根據(x, y, z)三元組創建的散點圖的線或集合。與前面討論的更常見的二維圖類比，這些可以使用ax.plot3D和ax.scatter3D函數創建。

這些調用簽名幾乎與它們的二維對應的簽名相同，所以對于控制輸出的更多信息，你可以參考“簡單的折線圖”和“簡單的散點圖”。在這里，我們將繪制一個三角螺旋線，并且在線條附近隨機繪制一些點：

ax = plt.axes(projection='3d')

# 三維線條的數據
zline = np.linspace(0, 15, 1000)
xline = np.sin(zline)
yline = np.cos(zline)
ax.plot3D(xline, yline, zline, 'gray')

# 三維散點的數據
zdata = 15 * np.random.random(100)
xdata = np.sin(zdata) + 0.1 * np.random.randn(100)
ydata = np.cos(zdata) + 0.1 * np.random.randn(100)
ax.scatter3D(xdata, ydata, zdata, c=zdata, cmap='Greens');

png

請注意，默認情況下，散點會調整其透明度，以便在頁面上給出深度感。雖然在靜態圖像中有時難以看到三維效果，但是交互式視圖可以產生點的布局的一些很好的直覺。

三維等高線圖

類似于我們在“密度和等高線圖”中探索的等高線圖，mplot3d包含使用相同輸入創建三維浮雕圖的工具。像二維ax.contour圖一樣，ax.contour3D要求所有輸入數據都是二維規則網格的形式，帶有每個點求得的Z數據。這里我們將展示三維正弦函數的三維等高線圖：

def f(x, y):
    return np.sin(np.sqrt(x ** 2 + y ** 2))

x = np.linspace(-6, 6, 30)
y = np.linspace(-6, 6, 30)

X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = f(X, Y)

fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.contour3D(X, Y, Z, 50, cmap='binary')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z');

png

有時默認的視角不是最佳的，在這種情況下我們可以使用view_init方法來設置俯仰角和方位角。 在下面的示例中，我們將使用 60 度的俯仰角（即，在 x-y 平面上方 60 度）和 35 度的方位角（即繞 z 軸逆時針旋轉 35 度）：

ax.view_init(60, 35)
fig

png

再次注意，當使用 Matplotlib 的交互式后端之一時，通過單擊和拖動可以交互式地完成這種類型的旋轉。

線框和曲面圖

處理網格化數據的另外兩種類型的三維圖是線框和曲面圖。它們接受值的網格，并將其投影到指定的三維表面上，并且可以使得到的三維形式非常容易可視化。以下是使用線框圖的示例：

fig = plt.figure()
ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot_wireframe(X, Y, Z, color='black')
ax.set_title('wireframe');

png

曲面圖類似于線框圖，但線框的每個面都是填充多邊形。將顏色表添加到填充多邊形，有助于感知可視化的表面拓撲：

ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1,
                cmap='viridis', edgecolor='none')
ax.set_title('surface');

png

請注意，雖然曲面圖的值的網格需要是二維的，但它不必是直線的。下面是一個創建部分極坐標網格的示例，與surface3D圖形一起使用時，可以為我們提供我們正在可視化的函數的切面：

r = np.linspace(0, 6, 20)
theta = np.linspace(-0.9 * np.pi, 0.8 * np.pi, 40)
r, theta = np.meshgrid(r, theta)

X = r * np.sin(theta)
Y = r * np.cos(theta)
Z = f(X, Y)

ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1,
                cmap='viridis', edgecolor='none');

png

表面的三角剖分

對于某些應用，上述例程所需的均勻采樣網格過于嚴格且不方便。在這些情況下，基于三角剖分的圖形可能非常有用。如果我們不從笛卡爾坐標或極坐標網格中均勻抽取，而是隨機抽取一組的話，會如何呢？

theta = 2 * np.pi * np.random.random(1000)
r = 6 * np.random.random(1000)
x = np.ravel(r * np.sin(theta))
y = np.ravel(r * np.cos(theta))
z = f(x, y)

我們可以創建點的散點圖，來了解我們從中采樣的表面：

ax = plt.axes(projection='3d')
ax.scatter(x, y, z, c=z, cmap='viridis', linewidth=0.5);

png

這留下了許多不足之處。在這種情況下幫助我們的函數是ax.plot_trisurf，它通過首先找到在相鄰點之間形成的一組三角形來創建表面（請記住，這里x，y和z是一維數組）：

ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot_trisurf(x, y, z,
                cmap='viridis', edgecolor='none');

png

結果當然不像用網格繪制時那樣干凈，但這種三角剖分的靈活性，允許一些非常有趣的三維圖。例如，實際上可以使用它繪制三維莫比烏斯條帶，我們將在下面看到。

示例：可視化莫比烏斯帶

莫比烏斯條帶類似于旋轉 90 度而拼接的紙條。在拓撲上，它非常有趣，因為外觀只有一面！在這里，我們將使用 Matplotlib 的三維工具來可視化這樣的對象。

創建莫比烏斯帶的關鍵是考慮它的參數化：它是一個二維條帶，所以我們需要兩個內在維度。 讓我們稱它們為θ，其范圍從0到2π，并且w的范圍從-1到1，跨越條帶的寬度：

theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 30)
w = np.linspace(-0.25, 0.25, 8)
w, theta = np.meshgrid(w, theta)

現在根據這個參數化，我們必須確定嵌入條帶的(x, y, z)位置。

考慮到這一點，我們可能會發現有兩個發生的旋轉：一個是環繞其中心的位置（我們稱之為θ），而另一個是條帶繞其軸的扭曲（我會稱其為φ）。 對于莫比烏斯條帶，我們必須讓條帶在完整循環期間產生半個扭曲，或者Δφ = Δθ/2。

phi = 0.5 * theta

現在我們使用三角函數的記憶來推導三維嵌入。我們將定義r，每個點距離中心的距離，并使用它來查找嵌入的(x, y, z)坐標：

# x-y 平面中的半徑
r = 1 + w * np.cos(phi)

x = np.ravel(r * np.cos(theta))
y = np.ravel(r * np.sin(theta))
z = np.ravel(w * np.sin(phi))

最后，為了繪制對象，我們必須確保三角剖分是正確的。 執行此操作的最佳方法是，在底層參數化中定義三角剖分，然后讓 Matplotlib 將此三角剖分投影到莫比烏斯條帶的三維空間中。這可以通過以下方式完成：

# 在底層參數化中進行三角剖分
from matplotlib.tri import Triangulation
tri = Triangulation(np.ravel(w), np.ravel(theta))

ax = plt.axes(projection='3d')
ax.plot_trisurf(x, y, z, triangles=tri.triangles,
                cmap='viridis', linewidths=0.2);

ax.set_xlim(-1, 1); ax.set_ylim(-1, 1); ax.set_zlim(-1, 1);

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結合所有這些技巧，可以在 Matplotlib 中創建和展示各種各樣的三維對象和圖案。