?一、等額本息每期還款總金額計算公式
假設貸款總金額為A，月利率為β，貸款期數為k，
每期需還款總金額（本金+利息）為x，
則：
??? 第一期還款后，欠款總金額 Q1 = A * (1 + β) - x
????第二期還款后，欠款總金額 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x
???????????????????????????????????????????????????? ?= A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x
????第三期還款后，欠款總金額 Q3 = Q2 * (1 + β) - x
?????????????????????????????????????????????????????? = {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x
?????????????????????????????????????????????????????? = A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x
由此可得出??? 第k期還款后，
??? 欠款總金額 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = ...
??????????????????????????? ?= A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + ... + 1] * x。
?? 我們發現[ ]內是等比數列，等比數列求和公式是不是又忘記了？
?? 我們一起來推導下。設y=1 + β，
????則Sk = 1 + y + y ^2 + ... + y ^ (k-1)，y * Sk = y + y ^2 + ... + y ^ (k-1) + y ^ k，
???兩公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1，從而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。
???由此繼續 Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x，
???第k期還款后貸款結束，因此Qk = 0，即 A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0，
??得出等額本息每期還款本息總額 x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1]，這便是每期需要還款的總金額。
二、等額本息每期還款本金計算公式
等額本息每期還款總金額x公式已經有了，那么每期還款的本金是多少呢？
假設第n期還款本金為Pn，
則：
??????? 第一期需還本金 P1 = x - A * β
??????? 第二期需還本金 P2 = x - (A - P1) * β
???????????????????????????????????????= x - {A - [x - A * β]} * β
????????????????????????????????????? ?= x - A * β + (x - A * β) * β
?????????????????????????????????????? = P1 + P1 * β = P1 * (1 + β)
??????? 第三期需還本金 P3 = x - (A - P1 - P2) * β
?????????????????????????????????????? ?= x - {A - P1 - P1 * (1 + β)} * β
?????????????????????????????????????? ?= x - A * β + P1 * β + P1 * (1 + β) * β
????????????????????????????????????????= P1 * (1 + β) ^ 2
?則可以猜測第n期需還本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)
?下面我們來論證這個公式，假設公式成立，
?則 P(n + 1) = x - [A - P1 - P2 - ... -Pn] * β
??????????????????? = x - {A - P1 * [1 + (1 + β) + ... + (1 + β) ^ (n - 1)]} * β
??????????????????? = x - {A - P1 * [(1 + β) ^ n - 1] / β} * β
?????????????????? ?= x - A * β + P1 * [(1 + β) ^ n - 1] = p1 * (1 + β) ^ n
由此可以得出，等額本息還款中每期還款本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)
三、首期利息與末期本金
1、首期利息 等額本息中，首期還款可能存在不足月的情況，這時候本金可以嚴格按照上述公式得出，
???? 但利息肯定不能按滿月算了（每期還款利息是按期數-月為單位的），???? 這時候首期利息得需要按實際使用天數進行特殊計算。
???? 假設第一期還款時實際使用天數為 t，則首期利息 L1 = A * β * t / 30
???? 如何計算首期實際使用天數？
???? 首期實際使用天數計算實性的是“對月對日”，首先找到首期還款日t1對應上一期的還款日t0（若當月t0不存在，則往下延一天，即下月的首日），再比較起息日y和t0的天數差，綜合，首期實際使用天數 t = 30 - (y - t0)。
范例：
???? 1) 起息日2018-02-15，首期還款日2018-03-10，則t0為2018-02-10，
??????????得出首期實際使用天數 t = 30- (2018-02-15 - 2018-02-10) = 25
??????2) 起息日2018-03-02，首期還款日2018-03-31，則t0為2018-03-01
??????? ?（對應2018-02-31不存在，則順延一天）
???????????得出首期實際使用天數 t = 30- (2018-03-02 - 2018-03-01) = 29
2、末期本金
???????????? 由于每期還款本金是公式計算后取四舍五入的值，存在精度丟失問題，
??????????????因此末期還款本金金額為 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)
四、總結
????? 假設貸款總金額為A，月利率為β，貸款期數為k，
????? 每期需還款總金額（本金+利息）為x，
??????第n期需還款本金為Pn，第n期需還利息為Ln，
則：
????? 第1至k-1期每期還款本金 Pn (1 <= n < k) = P1 * (1 + β) ^ (n - 1) ????
????? 第k期還款本金 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)
????? 第1期還款利息 L1 = A * β * t / 30 第2期到k期還款利息 Ln = x - Pn
????? 第1期還款本息總額 w1 = P1 + L1 ?? 第2期至k期還款本息總額 wn = x
五、等額本息Excel公式
?利用函數PPMT(rate,per,nper,pv,fv,type)計算本金，IPMT函數計算利息
?本金＝PPMT(各期利率,第幾期,總期數,本金）
?利息＝IPMT(各期利率,第幾期,總期數,本金）
??Excel中的PMT函數，通過單、雙變量的模擬運算來實現貸款的利息計算。
??PMT函數可基于利率及等額分期付款方式，
??根據貸款利率、定期付款和貸款金額，來求出每期(一般為每月)應償還的貸款金額。
??PMT函數的格式和應用方式： PMT(Rate，Nper，Pv，Fv，Type)
? 其中各參數的含義如下：
? Rate：各期利率，
???????????? 例如，如果按8.4%的年利率借入一筆貸款來購買住房，并按月償還貸款，
???????????? 則月利率為8.4%/12(即0.7%)。
?????????????用戶可以在公式中輸入8.4%/12、0.7%或0.007作為Rate的值。
?Nper：貸款期數，即該項貸款的付款期總數。
???????????? 例如，對于一筆10年期按月償還的住房貸款，共有10×12(即120)個償款期數。
?????????????????????????可以在公式中輸入120作為Nper的值。
?Pv：現值，或一系列未來付款的當前值的累積和，也就是貸款金額。
?Fv：指未來終值，或在最后一次付款后希望得到的現金余額。
?????????如果省略Fv，則假設其值為零，
?????????也就是一筆貸款的未來值為零，一般銀行貸款此值為0。
