等額本息計算公式推導

?一、等額本息每期還款總金額計算公式

假設貸款總金額為A,月利率為β,貸款期數為k,

每期需還款總金額(本金+利息)為x,

則:

??? 第一期還款后,欠款總金額 Q1 = A * (1 + β) - x

????第二期還款后,欠款總金額 Q2 = Q1 * (1 + β) - x = [A * (1 + β) - x] * (1 + β) - x

???????????????????????????????????????????????????? ?= A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x

????第三期還款后,欠款總金額 Q3 = Q2 * (1 + β) - x

?????????????????????????????????????????????????????? = {A * (1 + β) ^ 2 - [1 + (1 + β)] * x} * (1 + β) - x

?????????????????????????????????????????????????????? = A * (1 + β) ^ 3 - [(1 + β) ^ 2 + (1 + β) + 1] * x

由此可得出??? 第k期還款后,

??? 欠款總金額 Qk = Qk-1 * (1 + β) - x = ...

??????????????????????????? ?= A * (1 + β) ^ k - [(1 + β) ^ (k-1) + (1 + β) ^ (k-2) + ... + 1] * x。

?? 我們發現[ ]內是等比數列,等比數列求和公式是不是又忘記了?

?? 我們一起來推導下。設y=1 + β,

????則Sk = 1 + y + y ^2 + ... + y ^ (k-1),y * Sk = y + y ^2 + ... + y ^ (k-1) + y ^ k,

???兩公式相差得 y * Sk - Sk = y ^ k - 1,從而得出Sk = (y ^ k - 1) / (y -1)。

???由此繼續 Qk = A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x,

???第k期還款后貸款結束,因此Qk = 0,即 A * (1 + β) ^ k - {[(1 + β) ^ k - 1] / β} * x = 0,

??得出等額本息每期還款本息總額 x = A * β * (1 + β) ^ k / [(1 + β) ^ k - 1],這便是每期需要還款的總金額。


二、等額本息每期還款本金計算公式

等額本息每期還款總金額x公式已經有了,那么每期還款的本金是多少呢?

假設第n期還款本金為Pn,

則:

??????? 第一期需還本金 P1 = x - A * β

??????? 第二期需還本金 P2 = x - (A - P1) * β

???????????????????????????????????????= x - {A - [x - A * β]} * β

????????????????????????????????????? ?= x - A * β + (x - A * β) * β

?????????????????????????????????????? = P1 + P1 * β = P1 * (1 + β)

??????? 第三期需還本金 P3 = x - (A - P1 - P2) * β

?????????????????????????????????????? ?= x - {A - P1 - P1 * (1 + β)} * β

?????????????????????????????????????? ?= x - A * β + P1 * β + P1 * (1 + β) * β

????????????????????????????????????????= P1 * (1 + β) ^ 2

?則可以猜測第n期需還本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

?下面我們來論證這個公式,假設公式成立,

?則 P(n + 1) = x - [A - P1 - P2 - ... -Pn] * β

??????????????????? = x - {A - P1 * [1 + (1 + β) + ... + (1 + β) ^ (n - 1)]} * β

??????????????????? = x - {A - P1 * [(1 + β) ^ n - 1] / β} * β

?????????????????? ?= x - A * β + P1 * [(1 + β) ^ n - 1] = p1 * (1 + β) ^ n

由此可以得出,等額本息還款中每期還款本金 Pn = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)

三、首期利息與末期本金

1、首期利息   等額本息中,首期還款可能存在不足月的情況,這時候本金可以嚴格按照上述公式得出,

???? 但利息肯定不能按滿月算了(每期還款利息是按期數-月為單位的),???? 這時候首期利息得需要按實際使用天數進行特殊計算。

???? 假設第一期還款時實際使用天數為 t,則首期利息 L1 = A * β * t / 30

???? 如何計算首期實際使用天數?

???? 首期實際使用天數計算實性的是“對月對日”,首先找到首期還款日t1對應上一期的還款日t0(若當月t0不存在,則往下延一天,即下月的首日),再比較起息日y和t0的天數差,綜合,首期實際使用天數 t = 30 - (y - t0)。

范例:

???? 1) 起息日2018-02-15,首期還款日2018-03-10,則t0為2018-02-10,

??????????得出首期實際使用天數 t = 30- (2018-02-15 - 2018-02-10) = 25

??????2) 起息日2018-03-02,首期還款日2018-03-31,則t0為2018-03-01

??????? ?(對應2018-02-31不存在,則順延一天)

???????????得出首期實際使用天數 t = 30- (2018-03-02 - 2018-03-01) = 29

2、末期本金

???????????? 由于每期還款本金是公式計算后取四舍五入的值,存在精度丟失問題,

??????????????因此末期還款本金金額為 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)

四、總結   

????? 假設貸款總金額為A,月利率為β,貸款期數為k,

????? 每期需還款總金額(本金+利息)為x,

??????第n期需還款本金為Pn,第n期需還利息為Ln,

則:

????? 第1至k-1期每期還款本金 Pn (1 <= n < k) = P1 * (1 + β) ^ (n - 1)   ????

????? 第k期還款本金 Pk = A - P1 - P2 - ... - P(k-1)

????? 第1期還款利息 L1 = A * β * t / 30   第2期到k期還款利息 Ln = x - Pn

????? 第1期還款本息總額 w1 = P1 + L1  ?? 第2期至k期還款本息總額 wn = x


五、等額本息Excel公式

?利用函數PPMT(rate,per,nper,pv,fv,type)計算本金,IPMT函數計算利息

?本金=PPMT(各期利率,第幾期,總期數,本金)

?利息=IPMT(各期利率,第幾期,總期數,本金)


??Excel中的PMT函數,通過單、雙變量的模擬運算來實現貸款的利息計算。

??PMT函數可基于利率及等額分期付款方式,

??根據貸款利率、定期付款和貸款金額,來求出每期(一般為每月)應償還的貸款金額。

??PMT函數的格式和應用方式:   PMT(Rate,Nper,Pv,Fv,Type)


? 其中各參數的含義如下:

? Rate:各期利率,

???????????? 例如,如果按8.4%的年利率借入一筆貸款來購買住房,并按月償還貸款,

???????????? 則月利率為8.4%/12(即0.7%)。

?????????????用戶可以在公式中輸入8.4%/12、0.7%或0.007作為Rate的值。

?Nper:貸款期數,即該項貸款的付款期總數。

???????????? 例如,對于一筆10年期按月償還的住房貸款,共有10×12(即120)個償款期數。

?????????????????????????可以在公式中輸入120作為Nper的值。

?Pv:現值,或一系列未來付款的當前值的累積和,也就是貸款金額。

?Fv:指未來終值,或在最后一次付款后希望得到的現金余額。

?????????如果省略Fv,則假設其值為零,

?????????也就是一筆貸款的未來值為零,一般銀行貸款此值為0。

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