1、前言
動態規劃和分治算法非常類似，都是通過組合子問題的解來求解原問題。分治算法將問題劃分為互不相交的子問題，而動態適應于子問題重疊的情況
動態規劃常用于求解“最優化問題”，這類問題有很多個解，我們希望尋找最優解（最大值或最小值）
通常按如下四個步驟來設計一個動態規劃算法：
- 刻畫一個最優解的結構特征
- 遞歸地定義最優解的值
- 計算最優解的值，通常采用自底向上方法
- 利用計算出的信息構造一個最優解
或者說，動態規劃有3個關鍵要素。
- 1、最佳子問題（將復雜問題轉化成簡單問題）
- 2、邊界條件（一般是當數據量極少情況下的結果，比如n==0或n==1時的情況）
- 3、狀態轉移方程（考慮 n-1 和 n這兩種規模時，結果之間的推導）
2、鋼條切割問題
給定一段長為n的鋼條和一個價格表，求解收益最大的鋼條切割方案
鋼條價格如上，怎么切割才能有最大收益呢？通過鋼條價格，我們能手動計算出鋼條最佳切割方案。
定義長為n的鋼條切割最大收益為Rn，假設在k位置將鋼條切成兩段能獲得最大收益，那么這兩段k和n-k肯定也是最大收益，如果我們遍歷循環，可得到如下公式：
最大收益為，不切割以及從1到n-1位置切割的收益最大值。
換一個角度重新考慮，如果從1到n-1位置切割，但左邊的鋼條不再切割，右邊的鋼條使用最佳方案切割。這樣得到的會不是也是最佳切割方案呢？
很明顯，這種做法也是正常的，想象最終切割結果，肯定也是符合這種模式的。這樣簡單的遞歸更利于編碼。
動態規劃的精髓在于保存子問題的解，以提高效率。在編碼中我們新定義Rn，保存n長度的最大收益，并采用自底向上方法，即先求R0，R1，再求其它，如果單純使用暴力遞歸的話，效率非常低。
public static int[] steel(int[] p){
int[] s = new int[p.length];
s[0] = 0;
int max = 0;
//因為長度為0的鋼條，切割最大收益為0，S[0]已知，所以i從1開始
for (int i = 1; i < p.length; i++) {
max = 0;
for (int j = 1; j <= i; j++) {
//j也必須從1開始，如果從0開始，i等于1時，s[i-j]就等于s[1]了，而s[1]還是未知值
if (max < (p[j] + s[i-j])) {
max = p[j] + s[i-j];
}
}
s[i] = max;
}
return s;
}
2、最大子數組和
給出一個數組，求最大子數組和。例如給出如下數組，最大子數組和為20
-2, 11, -4, 13, -5, -2
此問題解題思路和1不一樣。
仔細考慮，如果設長度為n的最大子數組和為Sn，那么Sn和Sn-1有什么關系呢？動態規劃最重要的思想就是將大問題分解為子問題，并由子問題求解。
直接考慮Sn和Sn-1，好像二者沒有任何關系，如果我們換個角度考慮，長度為n的數組，且以n結尾的最大子數組和為Sn，這么定義的話，那么根據Sn的值，如果Sn大于0，那么Sn+1等于Sn加上a[n]，如果小于0，那么Sn+1等于a[n]。
公式為：
dp[i+1] = max(dp[i]+a[i+1] , a[i+1])
public static int getMaxSubArray(int[] array){
int[] b = new int[array.length];
int max = 0;
b[0] = array[0];
max = b[0];
for (int i = 1; i < array.length; i++) {
if (b[i-1] > 0) {
b[i] = b[i-1] + array[i];
}else {
b[i] = array[i];
}
if (max < b[i]) {
max = b[i];
}
}
return max;
}
3、結語
動態規劃還有其它經典問題，比如矩陣最少相乘次數，最長公共子序列，最優二叉搜索樹等等。本文只講了兩個簡單例子，簡述動態規劃的原理，可以更深入思考，二維的動態規劃問題解決，以加深理解。
以上代碼均已上傳至本人的github，歡迎訪問
