時間頻度：

一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比，我們將算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度，記為T(n)，n稱為問題的規模.

在時間頻度中，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化，但有時我們想知道隨著問題的規模n的不斷增加，運行時間呈現怎樣的變化規律，為此，引入了時間復雜度.

時間復雜度：

• 一般情況下，算法中基本操作重復執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近于無窮大時，T(n)/f(n)的極限值為不等于零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數。記作T(n) = O(f(n))，稱O(f(n))為算法的時間復雜度.
• 數學上定義：存在大于0的常數C和非負整數n'，使得對于任意的n >= n'來說，T(n) <= C * f(n)，表示為T(n) = O(f(n));
• 簡單來說：
  O(n2)表示當n很大的時候，復雜度約等于C * n2，C是某個常數;
  O(n)是說n很大的時候復雜度約等于C * n，C是某個常數.
• 例如，O(2n2 + n + 1) = O (3n2 + n + 3) = O (7n2 + n) = O(n2)，一般都只用O(n2)表示就可以了.

時間復雜度n2比對

圖中4條曲線分別表示4種不同的執行次數表達式，從圖中可以看出，只要最高項的階數相同，4種表達式值受其他項的影響很小，隨著n增大，幾乎可以忽略不計，甚至可以忽略與最高項相乘的常數

更通俗的講：時間復雜度是T(n)中受n的變化影響最大的那一項(不包含系數)

最壞時間復雜度和平均時間復雜度

最壞情況下的時間復雜度稱最壞時間復雜度。一般不特別說明，討論的時間復雜度均是最壞情況下的時間復雜度。 這樣做的原因是：最壞情況下的時間復雜度是算法在任何輸入實例上運行時間的上界，這就保證了算法的運行時間不會超過此時間.

常見時間復雜度

常數階O(1)、對數階O(log?n)、線性階O(n)、線性對數階O(nlog?n)、平方階O(n2)、立方階O(n3)、k次方階(n)、指數階O(2?)

常見時間復雜度比對圖

從圖中不難看出，選擇算法時候應該盡量選擇對數階而非指數階時間復雜度的算法.

常數階O(1)

void func(int n) {
    printf("Hello, World!\n"); // 循環體時間復雜度為 O(1)
}

對數階O(log?n)

void func(int n) {
    for(int i = 1; i < n; i *= 2) { // 循環次數為 log?n
        printf("Hello, World!\n"); // 循環體時間復雜度為 O(log?n)
    }
}

線性階O(n)

void func(int n) {
    for(int i = 0; i < n; i++) { // 循環次數為 n
        printf("Hello, World!\n"); // 循環體時間復雜度為 O(n)
    }
}

線性對數階O(nlog?n)

void func(int n) {
    for(int i = 0; i < n; i++) { // 循環次數為 n
        for(int j = 1; j < n; j *= 2) { // 循環次數為 log?n
            printf("Hello, World!\n"); // 循環體時間復雜度為 O(nlog?n)
        }
    }
}

平方階O(n2)

void func(int n) {
    for(int i = 0; i < n; i++) { // 循環次數為 n
        for(int j = 0; j < n; j++) { // 循環次數為 n
            printf("Hello, World!\n"); // 循環體時間復雜度為 O(n2)
        }
    }
}