希爾伯特空間

作者：趙亮

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來源：知乎

? ? ? ?做個類比,一般的3D矢量空間(我們最常見的)和Hilbert空間.在3D的矢量空間中,基底是i,j,k.維度是3(有限維).這三個基本的基矢量是完備的(矢量空間中任何一個元素都可以用這3個基底展開,系數(shù)唯一),正交的(不同的基底做點(diǎn)積為0.).矢量空間中的任意兩個元素之間可以定義算符F,也就是操作.我們常常對保持元素A長度(自己和自己點(diǎn)積,A*A)不變的操作感興趣,這樣的操作形象上講是轉(zhuǎn)動,抽象些講是滿足F^2=1的操作,或者叫變換.再看看Hilbert空間,基底一般是函數(shù),常見的是含有各種頻率的平面波函數(shù),一種頻率對應(yīng)一個基底 維度是無窮.這些基底,即平面波函數(shù)是完備的(Hilbert空間中的任何元素都可以用平面波函數(shù)展開,其實(shí)就是指傅里葉變換),正交(平面波函數(shù)做"點(diǎn)積"為delta函數(shù)). Hilbert空間中任意兩元素也可以定義算符G,也就是操作.我們常常對保持元素"長度"(自己和自己"點(diǎn)積")不變的操作感興趣.由于Hilbert空間是復(fù)數(shù)域上的,常見的3D矢量空間是實(shí)數(shù)域上的,所以G^2=1的G和F是不同的,雖然表達(dá)式相同.

? ? ? ?建立Hilbert空間的目的是為量子力學(xué)中的計(jì)算提供強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),也方便了抽象出其中更本質(zhì)的運(yùn)算.包括之后進(jìn)行的關(guān)于對稱性的討論,都是定義在Hilbert空間上的.

? ? ? ?注意上面的論述中并沒有涉及到矩陣.因?yàn)榫仃嚻鋵?shí)只是抽象定義的一種表現(xiàn),或者說是抽象的定義的一種表示(representation)而已.這是群論的思想.所有這些后面發(fā)展起來的表示理論,在Hilbert空間中表示后,(尤其是算符的表示)顯得非常重要.