7.2 運(yùn)動(dòng)公律
時(shí)間必須通過(guò)運(yùn)動(dòng)來(lái)定義，空間必須通過(guò)運(yùn)動(dòng)來(lái)描述。理解了時(shí)空與運(yùn)動(dòng)之間的依賴關(guān)系，我們就可以談?wù)勎矬w的運(yùn)動(dòng)速度了。其實(shí)，物理學(xué)中最基本的定律就是關(guān)于速度的定律，然而，它卻不是狹義相對(duì)論中的光速不變定律，而是著名的牛頓第一定律：慣性定律！
慣性定律告訴我們，物體在不受任何外力(或合外力為零)的條件下，將一直保持勻速直線運(yùn)動(dòng)或靜止?fàn)顟B(tài)。顯然，所謂勻速就是指速度的大小不變，所謂直線就是指運(yùn)動(dòng)的方向不變，而大小和方向都不變也就意味著物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是保持不變的。當(dāng)然，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的穩(wěn)定是有前提條件的，那就是物體所受的合外力必須為0。對(duì)于慣性定律，我們也可以反過(guò)來(lái)理解，其實(shí)并不是什么合力為0的條件下，物體的運(yùn)動(dòng)速度不變；而是當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變時(shí)，我們就認(rèn)為它所受到的合力為0。即慣性定律的逆命題仍然成立。與此相反，一旦物體的運(yùn)動(dòng)速度發(fā)生改變，我們就認(rèn)為它受到了外力的影響。所謂合外力不過(guò)是所有導(dǎo)致物體速度變化的原因之和。因此牛頓指出：力是使物體改變運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。
慣性定律是這個(gè)世界上最基本的運(yùn)動(dòng)定律，雖然以相對(duì)論和量子力學(xué)為基礎(chǔ)的現(xiàn)代物理學(xué)顛覆了很多傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)定律。然而，沒(méi)有任何人對(duì)慣性定律提出質(zhì)疑。因此，我們不禁要進(jìn)一步追問(wèn)：慣性定律為何會(huì)成立？其實(shí)，物體要保持穩(wěn)定不變的運(yùn)動(dòng)速度，除了合外力為0，不受外界干擾之外，還要依賴于時(shí)間和空間的某些特性。不難想象：即使不受到任何外力的作用，如果時(shí)間加快了，物體的運(yùn)動(dòng)速度也必然會(huì)加快，如果空間縮短了，物體的運(yùn)動(dòng)速度也必然會(huì)減慢。因此牛頓進(jìn)一步指出：時(shí)間必須如數(shù)學(xué)一般均勻的流逝，空間必須象幾何一樣各向均勻且平直。
應(yīng)該說(shuō)，牛頓的這個(gè)要求稍微苛刻了一點(diǎn)，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)速度只是空間和時(shí)間的比值，只要這個(gè)比值不變，慣性定律就一定可以成立。比如：在時(shí)間變快的同時(shí)，空間等比例的變長(zhǎng)了，或者在時(shí)間變慢的同時(shí)，空間等比例的收縮了，我們都不會(huì)發(fā)現(xiàn)速度的變化。那么，為什么牛頓一定要求時(shí)空均勻平直呢？因?yàn)椋瑠W卡姆剃刀原則告訴我們，要選擇盡量簡(jiǎn)單的模型。如果時(shí)空同步擴(kuò)張、同步收縮和均勻不變這三個(gè)假設(shè)都可以完美的解釋?xiě)T性定律，我們?yōu)槭裁床贿x擇最簡(jiǎn)單的時(shí)空均勻不變呢？只不過(guò)，在牛頓的表述中，忘記了一個(gè)重要的前提，那就是，時(shí)空均勻和慣性定律都只在任何一個(gè)指定的參考系中成立！如果我們?cè)黾恿诉@個(gè)限制條件，并把慣性定律在邏輯上進(jìn)一步展開(kāi)，就可以得出如下幾條最基本的運(yùn)動(dòng)定律：
在任意一個(gè)指定的參考系中：
一、時(shí)間的流逝如數(shù)學(xué)一般穩(wěn)定而均勻；
二、空間的分布均勻且平直，在所有方向上保持著嚴(yán)格的幾何對(duì)稱；
三、在合力為0的條件下，物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)保持不變；
四、當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變時(shí)，該物體所受合外力為0。
在經(jīng)過(guò)這樣嚴(yán)密表述之后，慣性定律不僅是一條運(yùn)動(dòng)定律，它應(yīng)該是所有其他運(yùn)動(dòng)定律的基礎(chǔ)，是物理學(xué)的運(yùn)動(dòng)公律。
時(shí)空均勻平直的特征又被稱作時(shí)空對(duì)稱性，它是所有物理學(xué)定律的基本前提。在任意一個(gè)指定的參考系內(nèi)，只有在時(shí)空對(duì)稱的前提下，我們才可以使用笛卡爾坐標(biāo)系來(lái)描述時(shí)空內(nèi)的物理事件，也才可以對(duì)物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度進(jìn)行矢量的加減。同時(shí)，時(shí)空對(duì)稱性也意味著，任何一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律都與具體的時(shí)間點(diǎn)和空間點(diǎn)無(wú)關(guān)，因此我們才可以通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述物理定律。
接下來(lái)，我們就分析一下：在時(shí)空對(duì)稱的前提下，伽利略速度變換是如何得到的。如圖7-1所示：在地面A上，平板B以速度vB自左向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，小球C又在平板B上以速度vC沿同一方向勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷了一段時(shí)間t之后，BC分別移動(dòng)到了B’和C’的位置，那么C相對(duì)于A的運(yùn)動(dòng)速度v又會(huì)如何呢？
因?yàn)榭臻g是均勻分布的，所以C在A上移動(dòng)的距離s就等于B在A上移動(dòng)的距離與C在B上移動(dòng)的距離的代數(shù)和。即：s=AB’+B’C’。又因?yàn)闀r(shí)間是均勻流逝的，所以B在A上運(yùn)動(dòng)和C在B上運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間t完全相同，因此C相對(duì)于A的運(yùn)動(dòng)速度為：
這意味著，任何一個(gè)指定的參考系中，伽利略速度變化法則依然成立。接下來(lái)，我們?cè)儆蓵r(shí)空對(duì)稱性出發(fā)，通過(guò)一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)，推出另一條基本的物理定律：動(dòng)量守恒。假設(shè)在一個(gè)指定的參考系中，某個(gè)質(zhì)量為M物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)，沒(méi)有受到任何外力的作用。在某一時(shí)刻，該物體突然爆炸為大小、形狀、質(zhì)量完全相同的AB兩塊，在爆炸的作用下，兩個(gè)碎片向不同的方向飛去。現(xiàn)在，我們要對(duì)這兩個(gè)碎片運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向做出分析。
這意味著，任何一個(gè)指定的參考系中，伽利略速度變化法則依然成立。接下來(lái)，我們?cè)儆蓵r(shí)空對(duì)稱性出發(fā)，通過(guò)一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)，推出另一條基本的物理定律：動(dòng)量守恒。假設(shè)在一個(gè)指定的參考系中，某個(gè)質(zhì)量為M物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)，沒(méi)有受到任何外力的作用。在某一時(shí)刻，該物體突然爆炸為大小、形狀、質(zhì)量完全相同的AB兩塊，在爆炸的作用下，兩個(gè)碎片向不同的方向飛去。現(xiàn)在，我們要對(duì)這兩個(gè)碎片運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向做出分析。
如圖7-2所示：物體M一直保持靜止?fàn)顟B(tài)，即使是在爆炸后，兩個(gè)碎片AB的整體也沒(méi)有受到任何外力的作用，爆炸所產(chǎn)生的斥力只是AB之間的內(nèi)力，而非整體受到的外力，因此，兩個(gè)碎片所組成的整體仍然需要保持靜止?fàn)顟B(tài)。因此，兩個(gè)碎片的質(zhì)量中心必須時(shí)刻處于物體M的原有位置，并永遠(yuǎn)保持不變。那么，兩個(gè)碎片的質(zhì)量中心又在哪里呢？因?yàn)槲覀兯幍膮⒖枷抵校瑫r(shí)空高度對(duì)稱，具有各向同性，又因?yàn)閮蓚€(gè)碎片大小、形狀、質(zhì)量完全相等，所以兩個(gè)碎片的公共質(zhì)心位于兩個(gè)碎片的幾何中心。
也就是說(shuō)，兩個(gè)碎片必須與其質(zhì)心處在同一條直線上，且二者離開(kāi)質(zhì)心的距離必須完全相等。又因?yàn)槲覀兊膮⒖枷祪?nèi)時(shí)間是均勻的，因此兩個(gè)碎片離開(kāi)質(zhì)心的時(shí)間也完全相等。在同樣的時(shí)間內(nèi)，兩個(gè)相同碎片在相反的方向上移動(dòng)了相等距離，所以，二者運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，方向相反，且處在同一條直線上。如果假設(shè)A離開(kāi)M質(zhì)心的速度為v，則B離開(kāi)M質(zhì)心的速度為-v，因此，二者的關(guān)系為：
那么，如果爆炸生成的兩個(gè)物體的質(zhì)量不同呢？為此，我們不妨繼續(xù)假設(shè)，左側(cè)質(zhì)量為M/2的物體A在爆炸發(fā)生的瞬間也在同一方向上發(fā)生了爆炸，如圖7-3所示：A爆炸為大小質(zhì)量相等的CD兩塊，顯然，由于爆炸前CD的總質(zhì)量為M/2，所以兩個(gè)小碎片CD的質(zhì)量都將是M/4，假設(shè)右側(cè)的碎片D和物體B的運(yùn)動(dòng)速度大小方向一致，那么碎片C的速度又如何呢？
根據(jù)慣性定律可知，當(dāng)A爆炸為CD兩個(gè)碎片以后，兩個(gè)碎片形成的整體仍然沒(méi)有受到外力的作用，因此，CD的公共質(zhì)心應(yīng)該永遠(yuǎn)保持在A原有的位置A’。在爆炸發(fā)生前，由于A在保持勻速直線向左的運(yùn)動(dòng)，所以CD的質(zhì)量中心A’也應(yīng)該保持這一運(yùn)動(dòng)速度不變。同時(shí)，由于CD到A’的距離相等，CD離開(kāi)A’的時(shí)間相等，因此CD離開(kāi)A’的速度同樣是大小相等，方向相反，且處于同一條直線上。由已知條件：A離開(kāi)B的相對(duì)速度為2v，B離開(kāi)A的速度為-2v。而D的速度和B的速度相同，所以它們離開(kāi)A’的速度都是vD=vB = -2v，由于C離開(kāi)A’的速度和D離開(kāi)A’的速度大小相等、方向相反，所以C離開(kāi)A’的速度為2v。由于A’離開(kāi)M質(zhì)心的速度vA=v，所以C離開(kāi)M質(zhì)心的速度vC=2v+v=3v。而BD離開(kāi)M質(zhì)心速度為-v。由于BD速度相同，如果我們把BD看作一個(gè)整體就會(huì)發(fā)現(xiàn)：C的質(zhì)量為M/4，離開(kāi)M質(zhì)心的速度為3v，而BD的質(zhì)量為3M/4，離開(kāi)M的速度為-v。顯然：mC×vC?=－mBD×vBD。如果我們把物體BD組成的整體視為B，把物體C視作A。那么，當(dāng)物體M爆炸為質(zhì)量不相等的AB兩塊時(shí)，下列等式仍然成立：
通過(guò)上述分析，我們?cè)谄街本鶆虻臅r(shí)空中，通過(guò)慣性定律和伽利略速度變換，得出了動(dòng)量守恒定律。我們知道，爆炸以后的兩個(gè)物體之所以發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，是因?yàn)槭艿搅吮óa(chǎn)生的斥力作用，當(dāng)斥力F在物體上作用一段時(shí)間t之后，就會(huì)導(dǎo)致物體的速度從0增加到v。即：Ft=mv。兩邊除以時(shí)間t，可得：F=mv/t，如果我們把v/t的結(jié)果定義為加速度a，又可以得出：F=ma。于是，我們就由動(dòng)量守恒定律得出了牛頓第二定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。如果我們把Ft=mv代入動(dòng)量守恒的等式中，又會(huì)由動(dòng)量守恒定律得出牛頓第三定律：
通過(guò)上述分析不難發(fā)現(xiàn)：時(shí)空對(duì)稱性和慣性定律是所有物理定律的基礎(chǔ)，由時(shí)空對(duì)稱出發(fā)，我們可以得出伽利略速度變換法則，結(jié)合慣性定律又可以得出動(dòng)量守恒定律。過(guò)去我們一直認(rèn)為，牛頓第二定律和第三定律則是動(dòng)量守恒定律的基礎(chǔ)。而通過(guò)今天的論述我們發(fā)現(xiàn)，它們只是動(dòng)量守恒定律的推論。當(dāng)然，時(shí)空對(duì)稱性前提只能在一個(gè)指定的參考系中才能成立。而一旦參考系發(fā)生了變化，我們即將發(fā)現(xiàn)：在運(yùn)動(dòng)的參考系中，時(shí)空似乎不在均勻平直，它們即將在速度的作用下發(fā)生等比例的收縮……
