昨天那篇寫完后個人覺得很不滿意。
主要是感覺寫得太一本正經了，而且本來打算從形式場的角度走一個不一樣的路線，但實際寫完以后發現還是那么無趣。
所以這次重新寫，咱們再換一個角度，接著前一小節繼續扯淡。
上一節我們得到的最有用的東西，是這樣的：
- 假定時空每個點的鄰域和閔氏時空就差一個坐標變換；
- 假定粒子運動軌跡是極值曲線（極長或者極短或者駐值）或者自平行曲線；
- 假定度規和聯絡滿足適配條件的約束。
在這樣的一系列假定下，我們得到了這么一些結果：
- 時空是贗黎曼流形，由度規來刻畫流形的形態；
- 度規和流形上的聯絡適配；
- 粒子在自由狀態下的運動軌跡由初始狀態和聯絡決定；
- 粒子在自由狀態下的運動軌跡也是連接起點和終點的最短或者最長曲線。
這其實就是說：引力可以用聯絡來刻畫，而這點在適配條件的約束下，其實就是說：引力由流形的“彎曲程度”決定。
比如說，我們來看慢速情況下運動方程（自平行曲線方程）：
接著，引入最常見的球對稱靜態時空的Schwardzschild解（球坐標下）：
從而有：
在弱場條件（自然單位制下M<<1）下，上面給出的就是經典物理中的牛頓引力方程。
因此，聯絡給出了引力——而在適配條件下，度規決定了聯絡，因此完全幾何的數學量“度規”就和完全動力學的物理量引力建立起了聯系。
這便是我們常說的：時空彎曲給出了引力效應。
那么，現在，我們自然要關心這么一個問題：物質與能量到底如何決定時空的彎曲程度？
因為很顯然，如果我們不知道物質如何影響時空的彎曲，那么我們就算知道時空彎曲會帶來引力效應，也依然不知道引力到底是怎么樣的。
所以，下面我們就主要來考慮物質是如何影響時空的。
我們的最終目標，是建立這么一個等式：
關于時空曲率的函數 = 關于物質能量分布的函數
因為，這樣這個等式就可以被理解為：時空彎曲的形式有物質能量分布決定，從而也就是我們的目標。
那么，什么樣的東西可以被當作時空曲率的函數的變量呢？
可以選擇的東西不算太多，比如度規張量gμν及其逆gμν，聯絡作為度規的導出量這里就不單獨考慮了。接下來就是微分幾何中專門討論曲率的數學對象，比如Reimann曲率張量Rσμνρ及Ricci曲率張量Rμν，以及Ricci曲率標量R。
它們的定義分別是：
而其中Riemann曲率張量又有如下性質：
其中中括號內表示對于指標做全反對稱化排列并求和。
和曲面彎曲程度相關的最主要也是最重要的數學組件，就是上述這些。
當然，如果我們將時空看作是嵌入在一個巨大容器中的一葉孤舟，那么大概還可以考慮外曲率張量Kμν，但這一對象我們暫時先不考慮（加入我們討論高維空間，比如大尺度額外維，時空是其中的一張膜，那么這貨就可以考慮，而且事實上可以給出許多有趣的東西，包括大尺度引力修正及暗物質的某些可選模型）。
只有上面這些東西當然不足以確定那個等式左邊的
關于時空曲率的函數了，因為它可以是如下形式：
你看，是不是都長得奇形怪狀，而且都是時空曲率的函數？
這就要從等式的另一邊來找了。
關于物質能量分布的函數，我們自然會想到能動張量Tμν，因此等式的右邊應該就是能動張量或者它的跡T=gμνTμν構成的函數，從而等式基本上可以寫成這個樣子：
其中G是一個常數參數，可以視為引力常數。
由于能動張量具有守恒的特性：
因此我們自然也就要求了張量函數Fμν也要具有這樣的性質。
而，于此同時，我們根據Riemann曲率張量的性質可知：
因此如果Fμν直接就是Rμν，那么這就等于要求Ricci曲率標量在整個時空中都是常數，但這顯然不是最一般化的情況。
可，同時，通過這個結果我們也發現另一個東西挺適合：
這么一來，至少Gμν看上去就很適合作為F而存在。
同時，我們在考慮潮汐力的測地偏離方程：
它可以通過測地線方程，也就是自平行曲線方程來獲得：
其中利用了測地分離矢量與測地切矢量之間的對易關系。
于此同時，我們知道經典引力現象中的測地偏離方程為：
因此，我們就可以明確一點：至少在慢速弱場極限下，與能動張量Tμν對應的關于曲率的函數應該是關于Riemann曲率張量、Ricci曲率張量和Ricci曲率標量的一次函數。
故而，結合上述兩點，符合要求的最簡單的函數就呼之欲出了：
這便是著名的Einstein場方程。
于是，我們今天的目的就這么達到了——通過分析守恒方程，并要求測地偏離方程在慢速弱場極限下可以得到與經典潮汐力方程相同的結果，從而找到了符合要求的最簡單的場方程，即Einstein場方程。
廣義相對論的第二項任務：找出物質能量是如何引起時空彎曲的，到這里基本就算是完工了。
當然，不得不指出的是，上述構造都是建立在方程在慢速弱場極限下可以回到經典引力理論這個大前提，但必須要明確的是，符合這個大前提的方程理論上是有無窮多的，我們只不過是選擇了其中“最簡單”的一個。
比如說，引入Lovelock項的愛因斯坦張量：
它由二階Gauss-Bonnet項（式中的B）給出。我們事實上還可以引入三階Gauss-Bonnet項，給出曲率的三階形式。而它們的特點就是都符合守恒方程，同時在弱場極限下又都會自動消失。
當然了，二階的Lovelock引力在四維下是平庸的，所以只有在研究高維引力而我們的時空只是一張膜的時候，才會著力研究這些亂七八糟東西——也因此，至少在高維引力下，引力在大尺度上會因為高維引力傳遞而形成偏離Einstein理論的現象，同時在強引力場的情況下也會因為Lovelock項而引起偏離Einstein理論的現象。
總結一下。
在上一節的接觸上，我們這次引入了一個不算新的假設：引力由流形的“彎曲程度”決定。從而，在這一假設下，我們要求場方程滿足滿足守恒方程與低速弱場極限下與經典引力理論結果相符這兩個條件，于是得到了一個滿足條件的最簡單的理論，那便是Einstein廣義相對論。
至此，整個目標基本算是終于完成了。
今天的睡前說就講到這里。
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