算法小測試

實驗室大師兄開了個小灶，講了一些簡單的算法題給我們開拓一下思路?，F(xiàn)在把這次講到的幾個測試題記錄在這里，一來是再過一遍加深印象，二來以后也可以看看。

測試題1--判斷和為s的元素的存在性

題目：已知數(shù)組a[0],a[1],...,a[i],a[i+1],...,a[n]以及一個整數(shù)s;其中n范圍為10^5,a[i]的范圍為10^9,判斷數(shù)組a[n]中是否存在a[i]和a[j],使得s=a[i]+a[j],其中i可以等于j。

我的思路：最快能想到的自然是枚舉法，就是將數(shù)組a[n]中的每兩個元素都相加看能不能等于s，但是這個方法很蠢，時間復(fù)雜度是o(n^2)。
那有沒有更好的方法？當(dāng)然有，其實這種從數(shù)組中找數(shù)的題如果一遍遍歷無法解決問題，那么就要先進行一下排序處理了，雖然排序過程會增加復(fù)雜度，但是排序后就可以利用元素之間的相關(guān)信息解題，事半功倍。
所以先對數(shù)字進行排序，方法很多，快排來做就是o(nlog(n))。
堆排序后的數(shù)組從兩頭開始遍歷，i=0開始，j=n開始，此時a[i]最小，a[j]最大。然后按照下面的規(guī)則進行移動：

<pre>
while(i<=j){
if a[i]+a[j]==s
return true;
else if a[i]+a[j]<s
i++;
else if a[i]+a[j]>s
j--;
}
return false;
</pre>

這種方法對于排序后的數(shù)組來說得到結(jié)果的時間復(fù)雜度是o(n);再考慮前面排序的過程，整體的復(fù)雜度就是max(o(nlog(n)),o(n))=o(nlog(n))。

要理解這種方法其實可以把a[i]+a[j]想象為一個二維矩陣，縱軸和橫軸都是a[0]...a[n]，形狀如：
<pre>
--------------------------------->
| a[0], a[1], a[2],..., a[n]
| a[0] - - - -
| a[1] - - - -
| ...
| a[n] - - - -
/
</pre>

矩陣中元素的特點是隨著箭頭的方向，矩陣中元素所對應(yīng)橫縱坐標a[i]和a[j]之和不斷增大。再明顯點就是：
<pre>
--------------------------------->
| a[0], a[1], a[2],..., a[n]
| a[0] 小 小 小 未2
| a[1] 小 小 X 大
| ...
| a[n] 未1 未1 大 大
/
</pre>

矩陣中每個元素的值都是其橫縱坐標a[i]與a[j]的和，當(dāng)前位置為X，“小”對應(yīng)位置的值小于“X”對應(yīng)的值，“大”對應(yīng)位置的值大于“X”對應(yīng)的值，剩余的“未1”和“未2”對應(yīng)的值和“X”的關(guān)系是未知的。這道題就轉(zhuǎn)化為判斷在這個矩陣中是否存在值為s的元素。
現(xiàn)在假設(shè)當(dāng)前值x比s小，說明“小”對應(yīng)的值都要小于s，那么我們應(yīng)該在“大”，“未1”和“未2”中繼續(xù)找；反之亦然，當(dāng)前置x比s大時，說明“大”對應(yīng)的值都要大于s，那么我們就應(yīng)該在“小”，“未1”和“未2”中繼續(xù)找。這個過程就是對搜索區(qū)域進行簡化排除的過程。
那么現(xiàn)在又有一個問題，這每一次的簡化得到的剩余的區(qū)域是個多邊形，并不是矩形，不能很好的實現(xiàn)在一個矩形模板上簡化問題的目的。如何才能做到每一次簡化后剩余的還是一個矩形呢。很簡單，直到隨意選擇左下角或者右上角作為起始判斷位置，然后進行簡化就可以了。比如從右上角開始，那么第一次簡化時x>s就可以排除最右邊那一列，如果x<s就可以排除最上邊那一行，剩下的就還是一個矩形了。然后不斷簡化，直到排除掉所有的元素，或者找到x==s時為止，問題就解決了。
把這個理論實現(xiàn)為代碼時就是像上面的偽代碼一樣，從最左和最右同時開始遍歷。
當(dāng)然還有很多其他的方法可以解這道題，但是這種方法應(yīng)該是時間復(fù)雜度最小的了，如果有人有更好的方法可以下來交流。

測試題2--計算三角形面積

題目：給定一個三角形三個定點的坐標，計算這個三角形的面積。
解法：這個題有很多解法，較簡單的就是通過公式計算，比如：

1. 海倫公式：sqrt(d(d-a)(d-b)(d-c))，其中a,b,c為三角形的三邊長，d為三邊和的一般，就是d=(a+b+c)/2;這種解法需要使用公式先計算出三條邊的長度。算法缺點就是計算機計算時會有誤差存在。
2. 使用面積=底×高/2的公式，同樣的也需要使用其他公式計算高，還有邊長，缺點也是會有誤差。
3. 利用向量外積公式：向量的外積還是一個向量，新向量的模為：|AB×AC|=(|AB|×|AC|×sin(θ));三角形面積=(1/2)(AB×AC)=(1/2)(|AB|×|AC|×sin(θ))；所以可以根據(jù)向量的外積得到三角形的面積。外積的坐標表示為：(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)，向量的外積是建立在三維空間上的，我們要求三角形的面積就可以把其中一個維度的坐標定位0，比如z1=z2=0，這樣就得到(x1,y1,0)×(x2,y2,0)=(0,0,x1y2-x2y1)。假設(shè)三點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，則AB=(x2-x1,y2-y1),AC=(x3-x1,y3-y1);則面積=(1/2)|AB×AC|=(1/2)((x2-x1)×(y3-y1)-(y2-y1)×(x3-x1));
4. 多邊形面積公式：就是將多邊形分割為多個三角形，然后求所有三角形的總和，所以本質(zhì)也是利用了上邊的向量外積公式。

測試題3--求最短距離

題目：在二維直角坐標系中有一個與坐標平行的矩陣，給出這個矩陣的四個點A,B,C,D的坐標，以及一個矩陣外的P點坐標，計算P點到矩陣邊界上任意一點的距離中的最短距離。

我的思路：這個題最開始我想到的是把矩形的四條邊無限延長，這樣坐標系就被分為了8個區(qū)域，當(dāng)P點在這8個區(qū)域中的正上下左右方時，最短距離就是P點橫坐標和縱坐標與A,B,C,D四個點坐標的橫坐標和縱坐標差值中的最小值；而當(dāng)P點在剩余的四個區(qū)域時，最短距離就是P點和A,B,C,D四個點距離中的最小值。
我的這個思路當(dāng)然是可行的，但是不夠簡潔，雖然和最優(yōu)答案很接近了，但是沒有抓住本質(zhì)。下面來說以下更好的解法。

假定最短連線中除P(p1,p2)點外的另一個點為S(s1,s2)，那么s1=max(min(a1,b1),min(max(a1,b1),p1));s2=max(min(a2,c2),min(max(a2,c2),p2)),然后直接求SP的距離就可以了。這里的s1就是a1，b1和p1三個數(shù)排序后位于中間的那個數(shù)的值，s2就是a2，c2和p2三個數(shù)排序后位于中間的那個數(shù)的值。

。。。未完待續(xù)。。。