在學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的時候看到了以下定理：
但是老師并沒有解釋，本著鉆研的精神決定搞清楚為什么是這個數(shù)。
在百度 google一番之后并沒有找到，決定自己試著證明。
最開始走了一些彎路，但突然靈光一閃很容易的證明了，所以特此記錄
在逆序?qū)χ杏幸粋€定理，那就是如果兩個排列剛好倒序那么他們的逆序數(shù)對之和為一個常數(shù)
如 {1,2,3,4} 與 {4,3,2,1} 的逆序?qū)η罢邽? ,后者為6,和為6.
又如 {2,3,1,4} 與 {4,1,3,2} 的逆序?qū)η罢邽? 后者為 4 ，和為6.
他們的和全都滿足上述公式。
這一點(diǎn)很好證明：
- 在一個任意N個不同數(shù)的序列中，第i(1<i<n)大的數(shù)一共有n-i個數(shù)比它大。
例：{1,2,3,4}中 比2大的數(shù)字有{3,4} 兩個（4-2）
- 在一個任意N個不同數(shù)的互為反序的兩個排列中，設(shè)前者序列中第i大數(shù)的逆序數(shù)為a（意思就是在這個數(shù)前面有a個數(shù)比它大）
那么在此序列中這個數(shù)的后面有n-i-a個數(shù)比它大（總的比它大的數(shù)= 這個數(shù)前面比它大的數(shù)+后面比它大的數(shù)的個數(shù)）。
所以將次序列反向后這個數(shù)的逆序?qū)閚-i-a。所以兩個序列逆序?qū)χ蜑椋?/li>
有了以上兩個證明，題設(shè)的結(jié)論就很容易得出了.
因為在一個任意N個不同數(shù)可以組成n的全排列個數(shù)n！個數(shù)，
互為反序的對數(shù)為
所以總個數(shù)為
平均數(shù)為
證畢！
參考文獻(xiàn)
百度百科.逆序數(shù). http://baike.baidu.com/
