Approximate Integration 近似積分
黎曼求和，我們把對應的[a, b]分成n份，每份大概為 Δx = (b - a)/n
這個時候，有：
我們可以用左邊的頂點求和，為：
對應的圖像為：
或者，我們用右邊的頂點求和，為：
對應的圖像為：
當我們用中點去求近似的時候，會比左邊，右邊要更好
Midpoint Rule 中點原則
原則定義：
Trapezoidal Rule 梯形原則
原則定義：
這里，我們可以通過
化簡為上面的公式
例子
一些例子，
因為比較簡單，只是應用，這里就截個圖
例子1
這里分別用 梯形原則 ， 中點原則 求值
n為5的時候，帶入即可：
對應的圖像為：
對應的 中點原則 求值，為：
對應的圖像為：
我們通過積分，求得對應的真實值為：
這個時候，我們對比一下對應的error誤差：
(Et 表示 Trapezoidal Rule 梯形原則的誤差， Em 表示 Midpoint Rule 中點原則的誤差）
根據上面的值，我們可以得到，對應的值大約為：
例子1的地方，
我們用 L 表示左頂點求值， R表示右頂點求值， T表示梯形求值， M表示中點求值
我們可以得到對應n的時候，對應的值
根據上面的近似值，可以得到對應的相對誤差E
我們可以通過表格發現，對應的 L， R， 沒有 T 和 M相對誤差小
Error Bounds 誤差范圍
對應的誤差范圍：
例子2
根據上面的公式，這里 根據
可以得到：
最后得到結果：
即：
所以， n = 41的時候， 可以滿足對應的精度。
同理， 對 Midpoint Rule 中點原則
有：
例子3
（a）我們當 a = 0，b = 1，n = 10， 和 中點原則 可以有：
（b）我們可以得到
可以求得：
根據上面的公式，可以得到：
Simpson’s Rule 辛普森法則
例子4
簡單套 Simpson’s Rule 辛普森法則 公式，
Error Bound for Simpson’s Rule
這里當2次翻倍的時候，也就是4次求導
可以得到對應的 辛普森法則， 求出 辛普森法則 的誤差范圍
例子6
這個時候，我們要對應的進度到達0.0001
我們先多次求導，可以得到：
這里因為自變量范圍是在1和2之間，所以
根據上面的公司，有不等式：
有：
即：
