凸優化（二）凸錐與常見凸集

1. 概述

\quad那么開始第二期，介紹凸錐和常見的集合，這期比較短(因為公式打得太累了)，介紹凸集和凸錐與仿射集的意義在哪呢，為的就是將很多非凸集合轉化為凸集的手段，其中，又以凸包（包裹集合所有點的最小凸集）為最常用的手段，在細節一點，閉凸包（閉合的凸包）是更常用的手段。

2. 凸錐（convex cone）：

2.1 定義

（1）錐（cone）定義：對于集合C\subseteq{R^n},\forall x \in C,\theta \ge0,有\theta x \subseteq C則x構成的集合稱為錐。說明一下，錐不一定是連續的（可以是數條過原點的射線的集合）。

（2）凸錐（convex cone）定義：凸錐包含了集合內點的所有凸錐組合。若C\subseteq{R^n},x_1,x_2...x_n\in C,\theta_i\ge0，則\theta_1{x_1}+\theta_2{x_2}+...+\theta_n{x_n}也屬于凸錐集合C。這里說明一下，就是說一個集合既是凸集又是錐，那么就是凸錐（廢話）。

（3）凸錐包（convex cone hull）定義：凸錐包是包含C的最小的凸錐，假設x_1,x_2...x_n\in C，凸錐包表示為：\{\theta_1{x_1}+\theta_2{x_2}+...+\theta_n{x_n}|x_1,x_2...x_n\in C，\theta_i\ge0\}

3. 常用凸集

3.1 常用集合

集合 是否屬于凸集、仿射集、凸錐
點 凸集、仿射集，不一定是凸錐（在原點上是凸錐）
空集 凸集、仿射集、凸錐
R^nn維空間 凸集、仿射集、凸錐
R^n的子空間 凸集、仿射集、凸錐
\forall任意直線 凸集、仿射集、不一定是凸錐（過原點上是凸錐）
\{x_0+\theta v|\theta\ge0\},x\in R^n,\theta\in R,v\in R^n的子空間 凸集、仿射集(是點的時候)、凸錐（過原點時）

以上是比較簡單的集合，接下來來看看稍微復雜的常用集合。

（1）超平面：\{x|a^{T}x=b,x\in R^n,b\in R,a\in R^n\}，其中a和x為n維向量，b為常數。解釋一下就是，想想初中學的直線為kx-y=-b,高中學的平面為Ax+By+Cz=-D。拓展到n維空間就是超平面啦。超平面是凸集、仿射集，只有在過原點的時候是個凸錐。

（2）球：B（x_c,r）=\{x||x-x_c||_2\le r\},即點到圓心的距離的二范數小于半徑的點構成的集合。那么解釋一下二范數的求法：||A||_2=\sqrt{A^T A}。球是凸集、當是個點的時候是仿射集、凸錐。

（3）橢球：B（x_c,P）=\{x|(x-x_c)^T P^{-1}(x-x_c)\le 1,P\in S^{n}_{++}\},其中P為正定對稱矩陣，正定就是其特征值全大于0.相關概念不再贅述。同理，橢球是凸集，當是個點的時候是仿射集、凸錐。

（4）多面體（polyhedron）：P=\{a_j^Tx\le b_j,c_i^Tx= d_j\}，多面體由半空間與超平面的交集組成。依舊是凸集。

（5）單純形（simplex）：特殊多面體，R^n空間中選擇v_0...v_k共k+1個點，滿足v_1-v_0,...v_k-v_0線性無關則構成單純形為C=conv\{v_0...v_k\}=\{\theta_0v_0+...+\theta_kv_k,\theta\ge0,1^T\theta=1\}?？雌饋肀容^繞，其實想想就明白了，就是找兩兩組合起來構成的線不平行的點，然后找這些點的凸包集合。當然有一種情況需要說明，就是在R^n空間中，由于無法找到n+1個向量線性無關，所以點也是有個數限制的。即不超過n+2個。舉個例子，就是二維空間中，不存在四邊形的單純形，三維空間沒有五面體的單純形。

（6）這里開始介紹三個不太能想像出具體形式的集合，對稱矩陣集合S^n=\{x\in R^n_n|x=x^T\}，是凸錐。

（7）對稱半正定矩陣集合S^n_+=\{x\in R^n_n|x=x^T,且x半正定\}來簡單證明一下它是凸錐，半正定矩陣有個特點，假設半正定矩陣A，則有\forall x\in R^n，x^TAx\ge 0,那么證明開始，有兩個矩陣A、B集合在C中，滿足x^TAx\ge 0,x^TBx\ge 0則x^T\theta_1Ax+x^T\theta_2Bx=x^T(\theta_1A+\theta_2B)x\ge0\tag{1}顯然成立，得到\theta_1A+\theta_2B仍在集合C中，得證。

（8）對稱正定矩陣集合S^n_+=\{x\in R^n_n|x=x^T,且x正定\}，（其實表示正定有個數學符號，表示其特征值大于0,和大于號很像，但是markdown我不會打那個符號），不是凸錐！，具體看（7）的證明，這里（1）式依舊成立，但是無法滿足大于0,因為當兩個\theta參數為0時就會有等于0的情況。反例也可以找到，當n=1時，此矩陣集合則變為了S^1_{++}=R_{++}顯然不包含原點，則不是凸錐。

那么這次寫到這里，下次介紹啥呢（其實我想跳一跳的）。

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