連通生成樹

• 圖是連通圖
• 圖中包含了N個頂點
• 圖中邊的數量等于N-1條

最小生成樹

• 構成連通網的最小代價的生成樹

Prim算法

Prim算法-領接矩陣

思路

• 定義2個數組：
  adjvex用來保存相關頂點下標(如:V0的相關頂點為V1,V5)
  lowcost保存頂點間的權值
• 初始化2個數組,從V0開始尋找最小生成樹,默認V0是最小生成樹的第一個頂點
• 循環lowcost數組,根據權值,找到頂點K
• 更新lowcost數組
• 循環所有頂點,找到與頂點K有關的頂點,并更新lowcost數組與adjvex數組

代碼實現

根據上圖構建圖

void CreateMGraph(MGraph *G) {
    int i, j;
    
    /* printf("請輸入邊數和頂點數:"); */
    G->numEdges=15;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化圖 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=10;
    G->arc[0][5]=11;
    G->arc[1][2]=18;
    G->arc[1][8]=12;
    G->arc[1][6]=16;
    G->arc[2][8]=8;
    G->arc[2][3]=22;
    G->arc[3][8]=21;
    G->arc[3][6]=24;
    G->arc[3][7]=16;
    G->arc[3][4]=20;
    G->arc[4][7]=7;
    G->arc[4][5]=26;
    G->arc[5][6]=17;
    G->arc[6][7]=19;
    
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++) {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++) {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
    
}

基礎設置

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0

#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;    /* Status是函數的類型,其值是函數結果狀態代碼，如OK等 */

typedef struct {
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

Prim算法生成最小生成樹

void MiniSpanTree_Prim(MGraph G) {
    int min, i, j, k;
    int sum = 0;
    /* 保存相關頂點下標 */
    int adjvex[MAXVEX];
    /* 保存相關頂點間邊的權值 */
    int lowcost[MAXVEX];
    
    /* 初始化第一個權值為0，即v0加入生成樹 */
    /* lowcost的值為0，在這里就是此下標的頂點已經加入生成樹 */
    lowcost[0] = 0;
    
    /* 初始化第一個頂點下標為0 */
    adjvex[0] = 0;
    
    //1. 初始化
    /* 循環除下標為0外的全部頂點 */
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) {
        lowcost[i] = G.arc[0][i];    /* 將v0頂點與之有邊的權值存入數組 */
        adjvex[i] = 0;                    /* 初始化都為v0的下標 */
    }
    
    //2. 循環除了下標為0以外的全部頂點, 找到lowcost數組中最小的頂點k
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++) {
        /* 初始化最小權值為∞， */
        /* 通常設置為不可能的大數字如32767、65535等 */
        min = INFINITYC;
        
        j = 1;k = 0;
        /* 循環全部頂點 */
        while(j < G.numVertexes) {
            /* 如果權值不為0且權值小于min */
            if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min) {
                /* 則讓當前權值成為最小值,更新min */
                min = lowcost[j];
                /* 將當前最小值的下標存入k */
                k = j;
            }
            j++;
        }
        
        /* 打印當前頂點邊中權值最小的邊 */
        printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);
        sum+=G.arc[adjvex[k]][k];
        
        /* 3.將當前頂點的權值設置為0,表示此頂點已經完成任務 */
        lowcost[k] = 0;
        
        /* 循環所有頂點,找到與頂點k 相連接的頂點
         1. 與頂點k 之間連接;
         2. 該結點沒有被加入到生成樹;
         3. 頂點k 與 頂點j 之間的權值 < 頂點j 與其他頂點的權值,則更新lowcost 數組;
         
         */
        for(j = 1; j < G.numVertexes; j++) {
            /* 如果下標為k頂點各邊權值小于此前這些頂點未被加入生成樹權值 */
            if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j]) {
                /* 將較小的權值存入lowcost相應位置 */
                lowcost[j] = G.arc[k][j];
                /* 將下標為k的頂點存入adjvex */
                adjvex[j] = k;
            }
        }
    }
    printf("sum = %d\n",sum);
}

Kruskal算法

思路

• 將鄰接矩陣 轉化為 邊表數組
• 對邊表數組根據權值按照從小到大的順序排序
• 遍歷所有的邊,通過parent數組找到邊的連接信息,避免閉環問題
• 如果不存在閉環問題,則加入到最小生成樹中,并修改parent數組

代碼實現

設計結構體

typedef struct {
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge ;

交換權值以及頭和尾

void Swapn(Edge *edges,int i, int j) {
    int tempValue;
    
    //交換edges[i].begin 和 edges[j].begin 的值
    tempValue = edges[i].begin;
    edges[i].begin = edges[j].begin;
    edges[j].begin = tempValue;
    
    //交換edges[i].end 和 edges[j].end 的值
    tempValue = edges[i].end;
    edges[i].end = edges[j].end;
    edges[j].end = tempValue;
    
    //交換edges[i].weight 和 edges[j].weight 的值
    tempValue = edges[i].weight;
    edges[i].weight = edges[j].weight;
    edges[j].weight = tempValue;
}

對權值進行排序

void sort(Edge edges[],MGraph *G) {
    //對權值進行排序(從小到大)
    int i, j;
    for ( i = 0; i < G->numEdges; i++) {
        for ( j = i + 1; j < G->numEdges; j++)
        {
            if (edges[i].weight > edges[j].weight)
            {
                Swapn(edges, i, j);
            }
        }
    }
    
    printf("邊集數組根據權值排序之后的為:\n");
    for (i = 0; i < G->numEdges; i++) {
        printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
    }
}

查找連線頂點的尾部下標

//根據頂點f以及parent 數組,可以找到當前頂點的尾部下標; 幫助我們判斷2點之間是否存在閉環問題;
int Find(int *parent, int f) {
    while ( parent[f] > 0)
    {
        f = parent[f];
    }
    return f;
}

核心算法

void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G) {
    int i, j, n, m;
    int sum = 0;
    int k = 0;
    /* 定義一數組用來判斷邊與邊是否形成環路
     用來記錄頂點間的連接關系. 通過它來防止最小生成樹產生閉環;*/
    
    int parent[MAXVEX];
    /* 定義邊集數組,edge的結構為begin,end,weight,均為整型 */
    Edge edges[MAXEDGE];
    
    /*1. 用來構建邊集數組*/
    for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++) {
        for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++) {
            //如果當前路徑權值 != ∞
            if (G.arc[i][j]<INFINITYC) {
                //將路徑對應的begin,end,weight 存儲到edges 邊集數組中.
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = G.arc[i][j];
                
                //邊集數組計算器k++;
                k++;
            }
        }
    }
    
    //2. 對邊集數組排序
    sort(edges, &G);
    
    
    //3.初始化parent 數組為0. 9個頂點;
    // for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
    for (i = 0; i < MAXVEX; i++)
        parent[i] = 0;
    
    //4. 計算最小生成樹
    printf("打印最小生成樹：\n");
    /* 循環每一條邊 G.numEdges 有15條邊*/
    for (i = 0; i < G.numEdges; i++) {
        //獲取begin,end 在parent 數組中的信息;
        //如果n = m ,將begin 和 end 連接,就會產生閉合的環.
        n = Find(parent,edges[i].begin);
        m = Find(parent,edges[i].end);
        //printf("n = %d,m = %d\n",n,m);
        
        /* 假如n與m不等，說明此邊沒有與現有的生成樹形成環路 */
        if (n != m) {
            /* 將此邊的結尾頂點放入下標為起點的parent中。 */
            /* 表示此頂點已經在生成樹集合中 */
            parent[n] = m;
            
            /*打印最小生成樹路徑*/
            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
            sum += edges[i].weight;
        }
    }
    
    printf("sum = %d\n",sum);
}