寫在前面：
翻看文章的時候看到這篇關(guān)于時間復(fù)雜度的介紹，覺得寫得非常通俗易懂，搬過來記錄下，以后忘記的時候方便翻閱理解。
注：這篇文章是在公眾號： 程序員小灰 中發(fā)布的。是我到目前為止所看到的關(guān)于時間復(fù)雜度介紹的最好的文章，清晰明了。
所以拿來po出來 僅供學(xué)習(xí)交流，如侵則刪。
正文：
時間復(fù)雜度的意義
究竟什么是時間復(fù)雜度呢？讓我們來想象一個場景：某一天，小灰和大黃同時加入了一個公司......
一天過后，小灰和大黃各自交付了代碼，兩端代碼實現(xiàn)的功能都差不多。大黃的代碼運(yùn)行一次要花100毫秒，內(nèi)存占用5MB。小灰的代碼運(yùn)行一次要花100秒，內(nèi)存占用500MB。于是......
由此可見，衡量代碼的好壞，包括兩個非常重要的指標(biāo)：
1.運(yùn)行時間；
2.占用空間。
基本操作執(zhí)行次數(shù)
關(guān)于代碼的基本操作執(zhí)行次數(shù)，我們用四個生活中的場景，來做一下比喻：
場景1：給小灰一條長10寸的面包，小灰每3天吃掉1寸，那么吃掉整個面包需要幾天？
答案自然是 3 X 10 = 30天。
如果面包的長度是 N 寸呢？
此時吃掉整個面包，需要 3 X n = 3n 天。
如果用一個函數(shù)來表達(dá)這個相對時間，可以記作 T（n） = 3n。
場景2：給小灰一條長16寸的面包，小灰每5天吃掉面包剩余長度的一半，第一次吃掉8寸，第二次吃掉4寸，第三次吃掉2寸......那么小灰把面包吃得只剩下1寸，需要多少天呢？
這個問題翻譯一下，就是數(shù)字16不斷地除以2，除幾次以后的結(jié)果等于1？這里要涉及到數(shù)學(xué)當(dāng)中的對數(shù)，以2位底，16的對數(shù)，可以簡寫為log16。
因此，把面包吃得只剩下1寸，需要 5 X log16 = 5 X 4 = 20 天。
如果面包的長度是 N 寸呢？
需要 5 X logn = 5logn天，記作 T（n） = 5logn。
場景3：給小灰一條長10寸的面包和一個雞腿，小灰每2天吃掉一個雞腿。那么小灰吃掉整個雞腿需要多少天呢？
答案自然是2天。因為只說是吃掉雞腿，和10寸的面包沒有關(guān)系 。
如果面包的長度是 N 寸呢？
無論面包有多長，吃掉雞腿的時間仍然是2天，記作 T（n） = 2。
場景4：給小灰一條長10寸的面包，小灰吃掉第一個一寸需要1天時間，吃掉第二個一寸需要2天時間，吃掉第三個一寸需要3天時間.....每多吃一寸，所花的時間也多一天。那么小灰吃掉整個面包需要多少天呢？
答案是從1累加到10的總和，也就是55天。
如果面包的長度是 N 寸呢？
此時吃掉整個面包，需要 1+2+3+......+ n-1 + n = (1+n)*n/2 = 0.5n^2 + 0.5n。
記作 T（n） = 0.5n^2 + 0.5n。
上面所講的是吃東西所花費(fèi)的相對時間，這一思想同樣適用于對程序基本操作執(zhí)行次數(shù)的統(tǒng)計。剛才的四個場景，分別對應(yīng)了程序中最常見的四種執(zhí)行方式：
場景1：T（n） = 3n，執(zhí)行次數(shù)是線性的。
void eat1(int n){ for(int i=0; i<n; i++){; System.out.println("等待一天"); System.out.println("等待一天"); System.out.println("吃一寸面包"); }}vo
場景2：T（n） = 5logn，執(zhí)行次數(shù)是對數(shù)的。
void eat2(int n){ for(int i=1; i<n; i*=2){ System.out.println("等待一天"); System.out.println("等待一天"); System.out.println("等待一天"); System.out.println("等待一天"); System.out.println("吃一半面包"); }}
場景3：T（n） = 2，執(zhí)行次數(shù)是常量的。
void eat3(int n){ System.out.println("等待一天"); System.out.println("吃一個雞腿");}
場景4：T（n） = 0.5n^2 + 0.5n，執(zhí)行次數(shù)是一個多項式。
void eat4(int n){ for(int i=0; i<n; i++){ for(int j=0; j<i; j++){ System.out.println("等待一天"); } System.out.println("吃一寸面包"); }}
漸進(jìn)時間復(fù)雜度
有了基本操作執(zhí)行次數(shù)的函數(shù) T（n），是否就可以分析和比較一段代碼的運(yùn)行時間了呢？還是有一定的困難。
比如算法A的相對時間是T（n）= 100n，算法B的相對時間是T（n）= 5n^2，這兩個到底誰的運(yùn)行時間更長一些？這就要看n的取值了。
所以，這時候有了漸進(jìn)時間復(fù)雜度（asymptotic time complexity）的概念，官方的定義如下：
若存在函數(shù) f（n），使得當(dāng)n趨近于無窮大時，T（n）/ f（n）的極限值為不等于零的常數(shù)，則稱 f（n）是T（n）的同數(shù)量級函數(shù)。
記作 T（n）= O（f（n）），稱O（f（n）） 為算法的漸進(jìn)時間復(fù)雜度，簡稱時間復(fù)雜度。
漸進(jìn)時間復(fù)雜度用大寫O來表示，所以也被稱為大O表示法。
如何推導(dǎo)出時間復(fù)雜度呢？有如下幾個原則：
如果運(yùn)行時間是常數(shù)量級，用常數(shù)1表示；
只保留時間函數(shù)中的最高階項；
如果最高階項存在，則省去最高階項前面的系數(shù)。
讓我們回頭看看剛才的四個場景。
場景1：
T（n） = 3n
最高階項為3n，省去系數(shù)3，轉(zhuǎn)化的時間復(fù)雜度為：
T（n） = O（n）
場景2：
T（n） = 5logn
最高階項為5logn，省去系數(shù)5，轉(zhuǎn)化的時間復(fù)雜度為：
T（n） = O（logn）
場景3：
T（n） = 2
只有常數(shù)量級，轉(zhuǎn)化的時間復(fù)雜度為：
T（n） = O（1）
場景4：
T（n） = 0.5n^2 + 0.5n
最高階項為0.5n^2，省去系數(shù)0.5，轉(zhuǎn)化的時間復(fù)雜度為：
T（n） = O（n^2）
這四種時間復(fù)雜度究竟誰用時更長，誰節(jié)省時間呢？稍微思考一下就可以得出結(jié)論：
O（1）< O（logn）< O（n）< O（n^2）
在編程的世界中有著各種各樣的算法，除了上述的四個場景，還有許多不同形式的時間復(fù)雜度，比如：
O（nlogn）, O（n^3）, O（m*n），O（2^n），O（n?。?/p>
今后遨游在代碼的海洋里，我們會陸續(xù)遇到上述時間復(fù)雜度的算法。
時間復(fù)雜度的巨大差異
我們來舉過一個栗子：
算法A的相對時間規(guī)模是T（n）= 100n，時間復(fù)雜度是O(n)
算法B的相對時間規(guī)模是T（n）= 5n2，時間復(fù)雜度是O(n2)
算法A運(yùn)行在小灰家里的老舊電腦上，算法B運(yùn)行在某臺超級計算機(jī)上，運(yùn)行速度是老舊電腦的100倍。
那么，隨著輸入規(guī)模 n 的增長，兩種算法誰運(yùn)行更快呢？
從表格中可以看出，當(dāng)n的值很小的時候，算法A的運(yùn)行用時要遠(yuǎn)大于算法B；當(dāng)n的值達(dá)到1000左右，算法A和算法B的運(yùn)行時間已經(jīng)接近；當(dāng)n的值越來越大，達(dá)到十萬、百萬時，算法A的優(yōu)勢開始顯現(xiàn)，算法B則越來越慢，差距越來越明顯。
這就是不同時間復(fù)雜度帶來的差距。
