概率論相關總結

概率的性質

  • 0 \leq P(A)\leq 1
  • P(\Omega ) = 1
  • P(\phi) = 0
  • 若AB=\phi,則P(AB) = P(A)+P(B)
  • P(\overline{A}) = 1- P(A)
  • P(B) - P(A) = P(B\overline{A}) = P(B)- P(AB)
  • 加法公式，對于任意事件A，B， P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)

古典概型

特點

  • 所有可能的結果為有限個。
  • 每個基本事件發生的可能性相等。

算法

事件E的樣本空間由n個樣本點構成，A為E的任意一個事件，包含m個樣本點，則事件A出現的概率為？
P(A) = \frac{m}{n} = \frac{A包含的樣本點數}{E的樣本點總數}

幾何概型

可以認為是古典概型的變形，當可能的結果為無限多個的時候就是幾何概型。

特點

  • 每個基本事件發生的可能性相等
  • 所有可能的結果為無限個

算法

當隨機試驗的樣本空間是某區域并且落在度量相同的子空間（長度，面積，體積）的可能性一致，則概率可定義為P(A) = \frac{S_{A}}{S}

例子

會面問題

條件概率

A,B是兩個事件，且P(A) > 0,稱 P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{P(A)}，即在A事件發生的情況下B發生的概率。

性質

  • 非負性：P(A|B) \geq 0
  • 規范性：P(\Omega |B) = 1 且 P(\phi |B) = 0
  • P( A_{1}\cup A_{2}|B) = P(A_{1}|B) + P(A_{2}|B) -P( A_{1}A_{2}|B)
  • P( A|B) = 1- P(\overline{A}|B)
  • 可列可加性：設B_{1},B_{2}...為兩兩互斥的事件，則有P(\bigcup_{i=1}^{\infty }B_{i}|A)= \sum_{i=1}^{\infty} P(B_{i}|A)

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