該文章為清華大學數據結構與算法設計MOOC課程讀書筆記.
1. 數據結構的靜態操作與動態操作
靜態操作(static operation) : search
動態操作(dynamic operation) : insert, remove
| 效率 | Vector | List |
|---|---|---|
| static | O(lgn) | 線性 |
| dynamic | 線性 | O(1) |
因為vector和list在靜態或者動態操作中，有一種操作為線性的效率，因此稱他們為線性數據結構。
Tree綜合了Vector和List的優點，高效地兼顧了靜態操作與動態操作。雖然具有線性特征，但是不完全是線性結構，因此可以稱之為半線性結構。
2. 有根樹與有序樹
有根：樹本身是一個圖，指定圖中某個點為root，該圖則變成有根樹。
有序：在數學上樹的孩子可以無序，但是在計算機對樹的表示中，需要指定出孩子間所存在的一種有序性，因此稱為有序樹。
關于樹的節點還有邊的關系，重要的是：它們的數量級同階
3. 樹結構的特性（與圖的區別）
簡單來講，樹是一種連通無環圖.
- 連通性(connected)：任意兩點之間均有路徑 -> 邊數不會太少
- 無環性(acyclic)：不存在環路 -> 邊數不能太多
推論：
任何節點v與root之間存在唯一的path
- 對于半線性的另一種理解：前驅(prev)只有一個，唯一確定，后繼(succ)可以有多個，不確定。
4. 樹的表示
“長子兄弟(1st-child & sibling)”法：每個節點維持兩個指針，一個指針指向第一個child node，另一個指針指向后一個sibling node。
5. 二叉樹
5.1 性質
節點數最少與高度h同階，最多可以是高度h的冪指數級。
5.2 表示與實現
6. 二叉樹的遍歷
通過遍歷，將半線性結構的樹轉換為完全線性結構的遍歷序列，使某些問題得到簡化。
按照節點被訪問的順序分類：先序(pre-order)，中序(in-order)，后序(post-order)，層次(level-order)
特點：每個節點只被訪問一次，復雜度O(n).
6.1 先序遍歷
(1)遞歸實現
按照定義，遞歸實現很簡單。但是在運行棧中，由于每個遞歸實例需要占據固定的空間，遞歸實現的效率其實并不高。
(2)迭代實現1
因為stack的LIFO性質，注意節點入棧的順序：先右后左
(3)迭代實現2
雖然迭代實現1非常簡單易懂，但是不利于推廣到中序以及后序遍歷中，因此需要一個更加能夠抓住遍歷本質的算法。
通過對遍歷過程的觀察可知，遍歷具有這樣一個特點：先沿著左側鏈(left-branch)不斷向下訪問，再自下而上地去訪問右子樹。
因此，實現的思路是：
沿著left-branch自上而下地訪問節點，同時將其對應的右孩子壓入棧中。
6.2 中序遍歷
(1) 遞歸實現
同理
(2) 迭代實現
觀察可知：最先訪問的節點是最左的節點，總體而言自下而上地進行訪問。因此需要一種LIFO的數據結構-Stack。
因此，實現的思路是：
沿著left-branch找到最左節點并訪問，在這個過程中將沿途的節點壓入棧中。訪問完當前節點后控制權轉移到當前節點的右子樹。
(3) 效率分析 - 分攤分析(Amortized Analysis)法
乍一看，兩個循環，每個循環最壞可以達到O(n)，因此O(n2)。這好比一個正方形，每個循環分別代表一條邊，因為每條邊的長度O(n)，因此面積O(n2)。
但是仔細分析之后，真正的運行時間好比正方形框中的一條條直線，每條直線的長度對應s.push()的操作次數，因為每個節點最多入棧一次，節點數目為n，因此各條直線的累積和為O(n)。相當與平均下來，每條直線的長度只是O(1)，因此實際面積(即實際時間復雜度)為O(n).
6.3 后序遍歷
觀察可知：最先訪問的節點是最左的葉節點，總體而言自下而上地進行訪問。因此需要一種LIFO的數據結構-Stack。
因此，實現的思路是：
沿著left-branch找到最左葉節點并訪問，在這個過程中將沿途的節點以及其右子樹節點壓入棧中。訪問完當前節點后控制權轉移到當前節點的右子樹。
后序遍歷應用 - 表達式樹
對表達式樹的后序遍歷可以生成RPN，再根據RPN的算法來計算表達式的值。
6.4 層次遍歷
思路：在之前的三種遍歷中，都有著一種逆序訪問的過程，即后代咸魚祖先被訪問。因此，這三種遍歷的實現都借助與Stack這種具有LIFO特性的數據結構。但是在層次遍歷中，嚴格遵循著父輩先與子輩被訪問，因此需要一種FIFO的數據結構-Queue。
6.5 重構
思想：通過遍歷序列確定root + 左子樹節點 + 右子樹節點，然后遞歸地重構出二叉樹。
(1) 普適方法
通過先序/后序遍歷的序列來確定root，再根據中序遍歷序列來確定左、右子樹。
注意，只通過先序和后續遍歷的序列，是不能夠保證重構的，因為：
若只存在左子樹或者右子樹，是無法確定是左子樹還是右子樹的。
(2) 特殊情況：真二叉樹proper binary tree
由于在真二叉樹中，某個節點要么左右子樹都沒有，要么左右子樹都有，因此可以確定出root，左子樹以及右子樹。
